有没有一种算法可以在有向根树（树状树）中找到最小成本路径？

Question

更具体地说：我有一个根树，它表示矩阵从第一个元素到最后一个元素的不同路径，只允许向右、向下和对角线向下移动。因此，每个节点最多可以有 3 个子节点。树将以矩阵的第一个元素作为其根，每个最后一个节点将是矩阵的最后一个元素。每个节点代表一个成本。

下面是我所说的树的示例：

这里的最低成本路径是：1 -> 2 -> 9 或 [0,0,2] 在“坐标”中

那么是否有任何算法能够找到这种树的最小成本路径（我的意思是路径不是最小成本路径的总成本）？
如果是的话，是否有可能以递归方式实现它？

Answer 1

这可以在 O(n) 时间内完成，其中 n 是节点数。解决方案是递归的：

• 叶节点的最小成本路径是微不足道的 - 它只是节点本身，具有节点自己的成本。

• 要找到内部节点的最低成本路径，请对其所有子节点进行递归调用，然后选择成本最低的子节点作为其最低成本路径。路径的成本等于节点自身的成本加上该子节点的路径成本。

要恢复路径，只需从函数中返回成本和路径即可。递归情况必须用当前节点扩展路径。

总运行时间为 O(n)，因为为内部节点完成的非递归工作与子节点的数量成正比。运行时间无法渐近改善，但可以在实践中使用branch-and-bound algorithm 进行优化，该branch-and-bound algorithm 跟踪迄今为止成本最低的路径，并拒绝超过它的路径。

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这是一个 Python 示例：

class Node:
    def __init__(self, cost, children=()):
        self.cost = cost
        self.children = children
    def __repr__(self):
        return 'Node({})'.format(self.cost)

root = Node(1, (
    Node(2, (
        Node(5, (Node(9),)),
        Node(6, (Node(9),)),
        Node(9),
    )),
    Node(3, (
        Node(8, (Node(9),)),
        Node(9),
    )),
    Node(4, (Node(9),)),
))

def min_cost_path(node):
    if not node.children:
        return [node], node.cost
    else:
        # list of (path, cost) pairs
        options = [min_cost_path(c) for c in node.children]
        path, cost = min(options, key=lambda option: option[1])
        path.append(node)
        return path, cost + node.cost

例子：

>>> path, cost = min_cost_path(root)
>>> path
[Node(9), Node(2), Node(1)]
>>> cost
12

注意路径是以相反的顺序返回的。