我可以使用动态规划来解决这个问题吗？

Question

我对动态编程的经验很少。我用它解决了一个 DNA 比对问题、一个基本的背包问题和一个简单的寻路问题。我理解他们是如何工作的，但这并不是我觉得绝对舒服的事情。

我有一个问题让我想起了 0-1 动态规划，但这些差异让我感到厌烦，我不确定我是否仍然可以使用这种技术，或者我是否必须满足于递归方法。

假设我有一个项目列表，每个项目都有不同的价值、重量和成本。每个项目可能不止一个。

假设我必须从那些最有价值的物品中选择一个组合，但要保持在重量和成本的限制范围内。到目前为止，我已经描述了几乎有两个约束的背包问题。但这里有区别：

所选项目的价值会根据我在组合中的数量而变化。

假设每个项目都有一个与之关联的功能，它告诉我一组这些项目对我来说价值多少。它是一个基本的线性函数，例如 value_of_item = -3（该项目的数量）+ 50

所以，如果我在一个组合中有 1 件，那么它对我的价值是 47。如果我有 2 个，那么它们对我来说每个只值 44。

如果我为此使用动态编程表，那么对于每个单元格，我都必须回溯以查看该项目是否已经在当前组合中，从而使 DP 毫无意义。但也许有办法重新构建问题，以便我可以利用 DP。

希望这是有道理的。

另一种方法是在成本和重量的限制内生成每个物品组合，计算每个组合的价值，选择最有价值的组合。即使是 1000 个项目的列表，这将是一个昂贵的搜索，而且我会反复计算。我想找到一种方法来利用 DP 的优势。

Answer 1

如果你的函数的形式是

value(x, count) = base(x) - factor(x) * count, factor(x) > 0,

那么您可以通过拆分物品将问题简化为标准背包：

x -> x_1 to x_max_count
value_new(x_i) = value(x, i)
weight(x_i) = weight(x)

现在您可以轻松地验证新问题的最佳解决方案没有使用某些项目x_j，而无需使用带有 i x_i。

矛盾证明：假设存在这样一个最优解 S，它使用x_j，但不是x_i，j > i。然后有一个替代解决方案 S' 使用 x_i 而不是 x_j。由于 j > i，

value_new(x_j) = value(x, j) 
               = base(x) - factor(x) * j 
               < base(x) - factor(x) * i
               = value(x, i)
               = value_new(x_i)

因此 S' 的值比 S 高，我们遇到了矛盾。

此外，我们可以允许factor(x) = 0，这对应于一个标准的背包物品。

但是如果有表单的约束

value(x, count) = base(x) + factor(x) * count

其中factor(x) 是任意值，上述解决方案不再有效，因为最后一项将是具有最大值的一项。也许对 DP 进行一些复杂的修改可能允许您使用此类约束，但我没有看到对问题本身进行任何修改以立即使用 DP。

本主题的一些研究（更笼统）：

• http://dept.cs.williams.edu/~heeringa/publications/knapsack.pdf
• http://clweb.csa.iisc.ernet.in/vsuresh/Kamesh-PLKP.pdf