跨度快速最小值答案

【问题标题】：Fast min on span跨度快速最小值
【发布时间】：2009-02-07 19:36:10
【问题描述】：

鉴于数组列表和大量设置时间，我需要快速找到每个数组的某个子跨度中的最小值。在概念上：

class SpanThing
{
     int Data;
     SpanThing(int[][] data) /// must be rectangulare
     {
         Data = data;
         //// process, can take a while
     }

     int[] MinsBruteForce(int from, int to)
     {
         int[] result = new int[data.length];
         foreach(int index, int[] dat; Data)
         {
             result[i] = int.max;
             foreach(int v; dat[from .. to]);
                result[i] = min(result[i], v);
         }
         return result;
     }
     int[] MinsSmart(int from, int to)
     {
          // same as MinsBruteForce but faster
     }
}

我目前关于如何做到这一点的想法是在数据上构建一个二叉树，其中每个节点都包含相关跨度中的最小值。这样，在一行的跨度中找到最小值将包括仅找到组成它的树节点的最小值。该集合对于每一行都是相同的，因此可以计算一次。

有没有人发现这个想法有任何问题或知道更好的方法？

为了澄清，我正在谈论的树将被设置为根节点将包含整行的最小值，对于每个节点，它的左子节点将具有左半部分的最小值parent 的 span 和 right 相同。

 0   5   6  2   7   9   4   1   7   2   8   4   2
 ------------------------------------------------
   | 5 | 6|   | 7 | 9 |   | 1 | 7 | 2 | 8 | 4 | 2  
 0 |   5  | 2 |   7   | 4 |   1   |   2   |   2  
   0      |   2       |   1       |       2
          0           |           1
                      0

这棵树可以映射到一个数组并以这样一种方式定义，即可以计算段边界，从而实现快速查找。

我正在优化的情况是我有一个固定的输入集和大量的前期时间，但随后需要对各种跨度进行许多快速测试。

【问题讨论】：

标签： algorithm data-processing

【解决方案1】：

您提出的解决方案似乎使用恒定的空间开销、恒定的时间设置和查询的对数时间给出了答案。如果您愿意支付二次空间（即提前计算所有区间），您可以在恒定时间内得到答案。您的对数方案几乎肯定是首选。

如果有可能做得更好，我不会感到惊讶，但如果有一个简单数据结构可以做得更好，我会感到震惊——实际上，对数时间几乎总是足够快。去吧。

【讨论】：

我实际上并不确定这是日志时间（至少在平均情况下）。我还没有坐下来详细解释它，但它可能会更好。无论如何+1 :)
将数组扩展为 N=2**m 且无穷大。对数组进行二进制搜索，直到在跨度中找到一个点（即 k 步）。然后你必须向左走 m-k 步才能得到跨度的小端，向右走 m-k 步才能得到大端。成本在 m 到 2m 之间，其中 m = log N。
我得考虑一下。我只是在考虑每行成本，如果跨度恰好与树中的某些内容匹配，则它的下限为 1。最坏的情况是除第一个和最后一个元素之外的所有元素的跨度，大约为 2 log n。更有趣的是一般情况。

【解决方案2】：

您描述的方法听起来像是您正在尝试执行某种memoization 或缓存，但这只会在您重复检查相同的跨度或嵌套的跨度时对您有所帮助。

min([0..n]) 的一般情况将是 O(n)，这就是你已经得到的。 p>

您的代码似乎更关心数组中的实际数字，而不是它们在数组中的顺序。如果您要反复检查这些跨度，是否可以先对数据进行排序，这可能是单个 O(n log n) 操作，然后是一堆 O (1) 操作？大多数语言的标准库中都有某种内置的sorting algorithm。

【讨论】：

【解决方案3】：

尚不清楚如何使用您描述的树方法有效地表示区间层次结构。划分区间的方法有很多种——我们是否必须考虑每一种可能性？

像这样的简单方法就足够了：假设data 是一个 N x M 数组。我将创建一个 M x M x N 数组，其中条目(i,j,k) 给出了data(k,i:j) 的“最小值”。数组条目将按需填充：

int[] getMins(int from, int to)
{
    assert to >= from;

    if (mins[from][to] == null)
    {
        mins[from][to] = new int[N];

        // populate all entries (from,:,:)
        for (int k = 0; k < N; k++)
        {
            int t = array[k][from];

            for (int j = from; j < M; j++)
            {
                if (array[k][j] < t)
                    t = array[k][j];

                mins[from][j][k] = t;
            }
        }
    }

    return mins[from][to];
}

【讨论】：