逆 3D（三角形）投影

Question

我有一个似乎无法解决的 3D 数学问题。

我有 3 个点的数据。数据是平面上的（2D）坐标，漂浮在 3D 空间的某个位置。我也知道投影的（2D）坐标。这会产生以下数据数组：

[[[x1,y1], [px1,py1],
 [[x2,y2], [px2,py2],
 [[x3,y3], [px3,py3]]

其中法线（x1 等）坐标代表平面上的坐标，另一个（px1 等）代表投影坐标。

我想做的是投影一个 新 2D 坐标 ([x4,y4])。

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到目前为止我尝试了什么：

当然，你需要一只眼睛来进行投影，所以我将它设置为 [xe,ye,-1]。 xe 和 ye 是已知的。 （这是图片参考，所以我只是把眼睛放在了照片的中心。）

在眼睛下方，我放置了投影面 (z=0)。这给出了以下投影坐标：

[[[x1,y1], [px1,py1,0],
 [[x2,y2], [px2,py2,0],
 [[x3,y3], [px3,py3,0]]

我不能对飞机上的坐标做同样的事情，因为我对那架飞机一无所知。

我还认为我可以对从眼睛穿过投影坐标的线条进行参数化公式。对于第 1 行，这将是：

line1x = xe+(px1-xe)*t1
line1y = ye+(py1-ye)*t1
line1z = -1+t1 // = -1+(0--1)*t1

我也知道 3D 中点之间的距离。这与 2D 中的相同。这意味着 point1 和 point2 之间的距离将是 sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)。

我也随时知道线路（line1 和 line2）之间的距离。即 sqrt((line1x-line2x)^2+(line1y-line2y)^2+(line1z-line2z)^2)。

但是，我真的不知道从这里怎么走……甚至不知道这是否是正确的路线。

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我希望你明白我想要做什么，并且你能帮助我。

提前致谢！

Answer 1

有一个函数Projection，可以对点进行变换，使得Projection([x1, y1]) = [px1, py1] , Projection([x2, y2]) = [px2, py2], Projection([x3, y3]) = [px3, py3]。如果我理解正确，作者想知道如何找到这个投影函数，以便他可以将 [x4, y4] 转换为 [px4, py4]。

由于我们在这里处理的是平面，所以投影函数如下所示：

Proj([ix, iy]) :
    return [ax*ix + bx*iy + cx,
            ay*iy + by*iy + cy];

使用它，我们可以制作 2 个方程组来求解。

第一个
x1 * ax + y1 * bx + cx = px1
x2 * ax + y2 * bx + cx = px2
x3 * ax + y3 * bx + cx = px3

求解 ax、bx 和 cx 给我们

ax = (px1 * (y3 - y2) - px2*y3 + px3*y2 + (px2 - px3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
bx = - (px1 * (x3 - x2) - px2*x3 + px3*x2 + (px2 - px3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cx = (px1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (px2*y3 - px3*y2) + (px3*x2 - px2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

第二个 x1 * ay + y1 * by + cy = py1
x2 * ay + y2 * by + cy = py2
x3 * ay + y3 * by + cy = py3

求解ay、by和cy给我们

ay = (py1 * (y3 - y2) - py2*y3 + py3*y2 + (py2 - py3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
by = - (py1 * (x3 - x2) - py2*x3 + py3*x2 + (py2 - py3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cy = (py1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (py2*y3 - py3*y2) + (py3*x2 - py2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

注意：我使用this tool 解方程组。

Answer 2

您应该使用homographic functions 和homogeneous coordinates，它们通常用于3D 透视操作。

Answer 3

写

(x4,y4,1) = A1*(x1,y1,1) + A2*(x2,y2,1) + A3*(x3,y3,1),

求解 A1,A2,A3。那么

(xp4,yp4) = A1*(px1,py1) + A2*(px2,py2) + A3*(px3,py3).

第一次编辑。

(A1,A2,A3) 是线性系统 Mat*(A1,A2,A3)=(x4,y4,1) 的解。

      ( x1  x2  x3 )
Mat = ( y1  y2  y3 )
      (  1   1   1 )

这可以通过多种方式解决。例如使用Cramer's 规则。

第二次编辑。

我插入的 1 不是 Z 坐标，而是输入坐标的齐次扩展（必须是欧几里得坐标）。 (A1,A2,A3)是由三角形顶点构成的基中的齐次坐标。

第三次编辑。

3D平面与投影平面的对应是一种射影变换。它可以定义为 3x3 矩阵 T 在输入平面 (x,y,1) （在您的坐标系中）中的齐次坐标上运行，并在投影平面中生成坐标 (u,v,t)。然后 px=u/t 和 py=v/t。

如果一个点在输入平面的三个点（不在同一条线上）形成的基中具有齐次坐标 (A1,A2,A3)，则其投影在投影基中具有相同的齐次坐标。

1 小时前对我来说似乎很清楚，但现在我开始怀疑：也许需要知道一对额外的点才能对问题有一个单一的解决方案......如果你能找到它，有一个看看 J.G. 的《代数投影几何》一书。 Semple 和 G.T.膝盖骨。

Answer 4

我真的不明白这个问题？您是否试图在 3d 空间中定位一个您知道位于平面（例如墙壁或地板）上的对象，并且您唯一的输入是 3 个点（其中您知道 3d 空间中的距离）相机图像？

在这种情况下，您将有 3 个这样的方程，其中 localCoordinates 是对象空间中的点坐标（给出点之间的已知距离），而 world 是对象在 3d 空间中的位置。

cameraCoordinates = world*view*projection*localCoordinates

这将产生一个方程系统，其中包含 6 个未知数（3d 中的旋转和位置）和 6 个方程（每个点 2 个）。然而，它将是非线性的，因此您必须使用数值方法来解决它。试试 Newton Rapson 方法。

Answer 5

这里“有点”晚了，但评分最高的答案没有考虑问题的 3D 空间。我们有一个透视投影问题，平面上的三个点（实际上是任何 3 个 3D 点）被投影到相机表面（如投影几何）。

不可能给出一个明确的解决方案来解决这个问题（存在多种解决方案）。在给定 3 个 3D 点及其各自的 2D 透视投影的情况下，寻找相机位置和姿势的一般问题可以使用原始RANSAC paper 中的 P3P（Perspective-3-Point）算法来解决，该算法最多提供四种可能的可行解决方案（与相机前面的点）。

给定一个相机位姿，计算额外平面点的投影是很简单的。