一般优化 - 在 python 中的实现答案

【问题标题】：General optimization - implementation in python一般优化 - 在 python 中的实现
【发布时间】：2016-10-02 00:05:24
【问题描述】：

我目前正在努力解决梯度下降实现问题，更多的是在数学方面。我有一个输入值矩阵，例如 - [[1,1,0,2],[2,3,5,1],[2,1,8,0]]。我想计算将最小化输出向量误差的权重，最小化函数是标准线性模型，所以我的假设是最小化-> np.dot(input,weights)-y。问题是 - 权重向量的值应该添加到特定的数字，比如 2。输出向量也被归一化，例如np.dot(input,weights)/sum(np.dot(input,weights)) - 然后将该结果与所需的输出向量进行比较。我应该如何在 python/numpy 中定义这个任务？

人工调整程序示例：

1) 输入矩阵 [[4,0,2,0,2,0],[2,0,0,2,2,0],[2,0,0,2,2,0],[4,0,2,0,0,0],[0,0,2,0,0,2],[0,4,0,0,0,2],[0,2,0,0,0,2],[0,2,2,0,0,0],[0,0,2,0,0,2],[4,0,2,0,0,0]]

2) 期望的输出[12.94275893,8.07054252,9.281123898,10.53654162,8.698251382,14.67643103,7.158870124,10.26752354,8.324615155,10.0433418]

3) 以 np.dot(input,weights)/sum(np.dot(input,weights)) 的方式转换输入向量的权重 [11,21,18,0,20,14]- 总和固定为 84

4) 最终输出，合理地偏离 2) [15.15,7.83,7.83,10.10,8.08,14.14,8.84,9.85,8.08,10.10]

【问题讨论】：

我不清楚你在问什么。 The problem is - values of weight vector should add to specific number, say 2 什么意思？为什么规范化很重要？通常，您正在安装一个规范器，然后准备好转换新数据。另外：这是出于研究/学习目的吗？因为有很多优秀的软件可以为您做到这一点。
我的意思是我的权重在它们的总和中是固定的 - 这些值的总和应该正好是 2。
这听起来像是一个 np-hard 问题，一般来说这是不可能解决的！它也不再是一个凸优化问题。当然，您可以获得一个近似解，添加一个惩罚项，该惩罚项对与该值的偏差有效。但是好吧..我认为仍然是非凸的（这意味着：很难优化）。 编辑： 也许我的感觉是错误的。如果使用惩罚项，它应该是凸的。
这是用于生物信息学研究的——我不想用生物学来淹没我的帖子，它通常只会使问题的核心复杂化。现在它通过用近似解猜测适当的值在 excel 表中解决。我想知道是否有更好的方法
梯度下降通常用于非约束优化，因此您可能需要使用一些惩罚方法。很容易制定一个二次规划，像上面推荐的那样惩罚偏差。

标签： python numpy optimization gradient

【解决方案1】：

对于示例数据的规模，解决方案如下：

import numpy as np
from scipy import optimize

a = np.array([[1,1,0,2],[2,3,5,1],[2,1,8,0]], dtype=float)
target = np.random.randn(3)
target /= target.sum()

def f(p):
    p = np.r_[p, 2 - p.sum()]
    res = a.dot(p)
    res /= res.sum()
    return res - target

r, _ = optimize.leastsq(f, np.zeros(3))
print(target)
print(np.r_[r, 2 - r.sum()])

输出：

[-0.21987606  0.70869974  0.51117632]
[ 2.15713915  7.47554671  0.38959227 -8.02227813]

这是您的真实数据的代码：

import numpy as np
from scipy import optimize

a = np.array([[4,0,2,0,2,0],
              [2,0,0,2,2,0],
              [2,0,0,2,2,0],
              [4,0,2,0,0,0],
              [0,0,2,0,0,2],
              [0,4,0,0,0,2],
              [0,2,0,0,0,2],
              [0,2,2,0,0,0],
              [0,0,2,0,0,2],
              [4,0,2,0,0,0]], dtype=float)

target = np.array([12.94275893,8.07054252,9.281123898,10.53654162,8.698251382,
                   14.67643103,7.158870124,10.26752354,8.324615155,10.0433418])

target /= target.sum()

def make_vector(x):
    return np.r_[x, 84 - x.sum()]

def calc_target(x):
    res = a.dot(make_vector(x))
    res /= res.sum()
    return res

def error(x):
    return calc_target(x) - target

x, _ = optimize.leastsq(error, np.zeros(a.shape[1] - 1))
print(make_vector(x))
print(calc_target(x) * 100)
print((calc_target(x) - target) * 100)

输出：

[  9.40552097  20.32874298  19.8199082   13.13991088  10.00062863
  11.30528834]
[ 12.90025777   8.63333209   8.63333209  10.2474406    8.25642656
  13.78390749   8.39140263  10.65003363   8.25642656  10.2474406 ]
[-0.04250116  0.56278957 -0.64779181 -0.28910102 -0.44182483 -0.89252354
  1.23253251  0.38251009 -0.0681886   0.2040988 ]

看来numpy.linalg.lstsq()也可以解决这个问题，但是需要把你的问题简化为一个线性的euqations。

【讨论】：

OP 在数学方面苦苦挣扎，而且绝对看起来像是想学习的人。我建议为未来的读者添加一些解释，毕竟 Stack Overflow 不是代码编写服务。
感谢您的回复！我将在更大的数据集上对其进行测试并告诉你。正如安德拉斯所说，我也将欣赏任何理论见解。
这段代码中隐藏了一些假设/模型决策（损失 + 惩罚与 1.0 惩罚因子一起最小化？），提及这些真的很棒。甚至（在我看来）具有 numpy 意识（非专家）的用户在看到 np_r_ 之类的内容时也会感到挣扎。尽管如此：有趣的代码。
哦，对不起，我忘了提到解决方案不应该有负值。让我粘贴手动调整输入/输出的示例：