决策变量的数量与目标空间维度？答案

【问题标题】：Number of decision variables vs objective space dimension?决策变量的数量与目标空间维度？
【发布时间】：2013-01-26 09:41:33
【问题描述】：

这两个有区别吗？

在优化问题（尤其是进化优化）的背景下，我遇到了决策变量这个术语，正如它的定义和实践所表明的那样，这些是我们想要找到最佳值的变量用于找到最佳目标函数值。

让我困惑的是，有时决策变量的数量和问题的维度是分开处理的。他们不一样吗？例如，如果我有一个想要优化的二维函数f(x1,x2)，那么x1 和x2 不是决策变量吗？那么，这两个数字都是 2，不是吗？

这两者有什么不同的问题吗？约束优化问题有什么不同吗？

或者，如果它们始终相同，为什么术语不同？

【问题讨论】：

您对决策变量的定义是正确的。但是，您的问题含糊不清，因为您的问题标题和第二段不是同一个问题。问题的维度和目标空间维度不一样。那么你到底想知道什么？
@CmdNtrf 我想在标题中说“问题维度”，但所以没有让我问标题中带有“问题”的问题！ :) 所以我把它改成了“客观空间”，认为这两个是一样的。既然你提到了它，如果你能解释一下它们之间的区别，我将不胜感激。

【解决方案1】：

根据维基百科，mathematical optimization 问题可以表示为：

函数 f 接受参数 x0，这是决策变量。所以空间A，问题空间是一维的。问题的维数和决策变量的个数是同一个概念。如果 f 需要两个参数 f(x0, x1)，则将有两个决策变量。

目标空间的维数是函数f返回的变量个数。在我们的例子中，f 将一组解 A 映射到实数 R。因此，目标空间的维数为 1。

我们可以定义一个多目标优化问题，其中函数 f 返回一个向量，或者我们尝试一次优化多个函数 f_k。然后问题将被定义为：

给定一组函数 (f1, f2, ..., fk)：A -> R^k，从集合 A 到实数 R^k
求一个值 x0 这样 (f1(x0), f2(x0), ..., fk(x0)) 支配每个 (f1(x), f2(x), ..., fk(x))对 A 中的所有 x 进行最小化。

问题维度为1，目标空间有k个维度。可以使用加权和将目标组合为单个目标，也可以使用多标准优势概念（例如Pareto dominance）进行优化。

【讨论】：