'.' 和有什么区别？和 '<<<' 执行功能组合时？

Question

我正在尝试在 Haskell 中执行函数组合，但我不确定使用哪个运算符是正确的。

文档包含这两种类型签名：

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c 
(<<<) :: Category cat => cat b c -> cat a b -> cat a c 

显然这两个选项之间的区别在于Category cat 的存在/不存在，但是这个注释意味着什么，我应该如何使用这些信息来选择一个运算符而不是另一个？

在比较其他两个运算符时，我还注意到上述两个签名的第三种变体：

(>>) :: forall a b. m a -> m b -> m b 
(>>>) :: Category cat => cat a b -> cat b c -> cat a c

forall 注释是什么意思——>> 是否用于第三种情况？

Answer 1

首先，您应该认识到 (.) 在 Prelude 中以特定功能的形式定义

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c 

以及Category 类提供的更通用的函数：

class Category cat where
    -- | the identity morphism
    id :: cat a a

    -- | morphism composition
    (.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c

Category 的 (->) 实例清楚地表明两者在功能上是相同的：

instance Category (->) where
    id = GHC.Base.id
    (.) = (GHC.Base..)

(<<<) 的定义明确表明它只是(.) 的同义词

-- | Right-to-left composition
(<<<) :: Category cat => cat b c -> cat a b -> cat a c
(<<<) = (.)

旨在与(>>>) 运算符对称。您可以写f >>> g 或g <<< f，以更适合您的特定用途为准。

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(>>) 是一个完全不同的运算符（至少，只要您没有深入研究单子理论）。 (>>) 是 (>>=) 的一个版本，它忽略第一个操作数的结果，仅将其用于其效果。

x >> y == x >>= (\_ -> y)

Answer 2

一个纯粹的语法差异，尽管表面上可能实际上是最常见的用例，但<<< 的优先级低于.：

infixr 9 Control.Category..
infixr 1 Control.Category.<<<

这类似于普通函数应用程序f x（它比任何中缀绑定更紧密，所以它基本上是infixl 10）和使用$ 运算符（如f $ x）之间的区别，它的优先级最低@987654335 @。这意味着，您可以选择表达式中需要较少括号的表达式。 <<< 当你想组合由一些中缀表达式定义的函数时很方便；这在使用 lenses 时经常发生。

更有趣的是，Category 版本不仅适用于函数，还适用于其他井的态射，类别。一个简单的例子是category of coercions：如果你有例如newtype-wrapped 值的列表，并且您想要获取底层表示，在列表上使用map 将是低效的——这将创建整个列表的副本，但其中包含完全相同的运行时信息。强制允许您一直使用原始列表，但不会绕过类型系统——编译器将在每个点跟踪列表的哪个“视图”中的元素具有什么类型。强制并不是真正的函数——它们在运行时总是无操作——但它们可以像函数一样组合（例如，从Product Int 强制转换为Int，然后从Int 强制转换为Sum Int）。

对于其他示例，Haskellers 通常会引用Kleisli 类别。它们包含a -> m b 形式的函数，其中m 是一个monad。虽然你不能直接作曲，例如readFile :: FilePath -> IO String 和 firstFileInDirectory :: FilePath -> IO FilePath，因为 FilePath 和 IO FilePath 不匹配，您可以Kleisli 撰写它们：

import Control.Monad
main = writeFile "firstfileContents.txt" <=< readFile <=< firstFileInDirectory
            $ "src-directory/"

同样的东西也可以写

import Control.Arrow
main = runKleisli ( Kleisli (writeFile "firstfileContents.txt")
                 <<< Kleisli readFile
                 <<< Kleisli firstFileInDirectory
            ) $ "src-directory/"

有什么意义？好吧，它允许您对不同的类别进行抽象，从而使代码既可以用于纯函数，也可以用于IO 函数。但坦率地说，我认为Kleisli 在激励使用其他类别方面做得不好：任何你可以用 Kleisli 箭头写的东西通常在使用标准单子 do 表示法或仅使用 =<< 或<=< 运营商。 仍然允许您通过选择不同的 monad（IO、ST 或简单的 Identity）来抽象可能是纯的或不纯的计算。
显然有一些专业的解析器是 Arrows，但不能写成 monad，但它们并没有真正流行起来——似乎优势并不能平衡不太直观的风格。

在数学中，还有很多有趣的类别，但不幸的是，这些类别往往不能用Categoryes 来表达，因为并不是每个 Haskell 类型都可以是一个对象。我想举一个例子是category of linear mappings，它的对象只是代表向量空间的Haskell类型，例如Double或(Double, Double)或InfiniteSequence Double。线性映射本质上是矩阵，但不仅具有类型检查的域和共域维度，而且还具有表示具有特定含义的不同空间的选项，例如防止将位置矢量添加到重力场矢量。而且由于向量不需要用数字数组字面表示，因此您可以为每个应用程序优化表示，例如用于您想要进行机器学习的压缩图像数据。

线性映射不是Category 的实例，而是constrained category 的实例。