在 MATLAB 中绘制多项式

Question

我需要创建一个如下形式的多项式：

P(x) = q(1,1) + q(2,2)(x-z(1)) + q(3,3)(x-z(1))(x-z(2)) + --- + q(2n, 2n)(x-z(1))(x-z(2))...(x-z(2n)) 注意：方程的索引已被移动以适应 MATLAB。

在 MATLAB 中。 Consult this link here specifically slides 15 and 16.

我已经填充了矩阵 Q，所以我已经填充了对角线，并且我还填充了 z(1:2n)。

我很难找到一种方法来创建一个可以绘制这个多项式的多项式。我尝试使用 for 循环将每个项附加到 P(x)，但它并没有按照我想象的方式运行。

到目前为止，我的代码将毫无问题地计算系数（在上面的问题中表示为 Q(0,0) -> Q(2n+1, 2n+1)）。

我在构造上述形式的 n 次多项式时遇到问题。绘图现在更有意义，创建一个带有评估值的向量 x，然后通过多项式“函数”运行它们，并根据结果向量绘制 x 向量。

所以我只需要创建这个多项式。

Answer 1

我会使用diag 和cumprod 来帮助您完成这项工作。首先使用diag 提取矩阵Q 的对角线。之后，使用cumprod 生成一个累积乘积向量。

cumprod 对向量的作用是，对于向量中的每个元素，第 i 个元素收集从 1 到第 i 个元素的乘积。例如，如果我们有一个向量V = [1 2 3 4 5]，cumprod(V) 将产生[1 2 6 24 120]。第 4 个元素（例如）是1*2*3*4，表示从第 1 个到第 4 个元素的产品。

因此，这是我要做的代码：

qdiag = diag(Q);
xMinusZ = x - z; % Takes z and does x - z for every element in z
cumProdRes = cumprod(xMinusZ);
P = sum(qdiag .* [1;cumProdRes(1:end-1)]);

P 应该给你你想要的P(x)。确保z 是一个列向量，以使其与从Q 提取的对角线兼容。

注意：我相信你的等式中有错字。你等式的最后一项（按照你的约定）应该有(x-z(2n-1))而不是(x-z(2n))。这是因为等式中的第一项没有z。

这是一个例子。假设定义了Q

Q = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16];

向量z是：

z = [4;3;2;1];

让我们评估x = 2的函数

提取Q 的对角线应该得到Q = [1;6;11;16]。从z 的每个元素中减去x 应该给我们：

xMinusZ = [-2;-1;0;1];

使用上面的等式，我们有：

P = 1 + 6*(-2) + 11*(-2)*(-1) + 16*(-2)*(-1)*(0) = 11

这是代码应该给出的。

如果我们想对多个 x 值执行此操作怎么办？

正如您在帖子中所述，您希望针对一系列 x 值对此进行评估。因此，您需要修改代码，使其看起来像这样（确保x 是列向量）：

qdiag = diag(Q);
xMinusZ = repmat(x,1,length(z)) - repmat(z',length(z),1);
cumProdRes = cumprod(xMinusZ,2);
P = sum(repmat(qdiag',length(z),1).*[ones(length(z),1) cumProdRes(:,1:end-1)],2);

P 现在应该给你一个输出向量，所以如果你想绘制它，只需执行plot(x,P);