为什么这个多项式方程的条件很差？

Question

我有 1x1024 矩阵。所以我想估计一个多项式方程。

X= (0:1023)'
Y= acquired data.  A 1024 element vector

然后我在 MATLAB 中试试这个：

polyfit(x,y,5)

但 MATLAB 会发出异常结果并发出警告。

Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the ...

我不明白我做错了什么？

更新

我得到了一堆这样的数字。

Y=

-0.0000000150
 ...
0.00001
...
0
...
0.17

X= 0~255

polyfit(X,Y,4)

我得到一个多项式，但它与原始曲线不匹配。 原始曲线和polyfit的曲线之间是否有任何选项可以匹配？

Answer 1

问题可归因于polyfit 从x 向量构建的系数矩阵类型：Vandermonde matrix。

什么时候

• x 向量的元素在大小上变化太大，并且
• 拟合多项式的次数太高，

你得到一个病态矩阵，并且相关的线性系统不能可靠地求解。

按照polyfit 帮助页面底部的建议，在应用polyfit 之前，先尝试将x 向量居中并缩放：

由于 Vandermonde 矩阵中的列是向量 x 的幂，V 的条件数对于高阶拟合通常很大，从而产生奇异系数矩阵。在这些情况下，居中和缩放可以改善系统的数值属性，从而产生更可靠的拟合。

（我的重点）

Answer 2

警告是因为您向polyfit 提供的具有所需多项式次数的数据不合适。具体而言，您的数据中的可变性不足，因此您无法成功实现良好的拟合。因此，MATLAB 会向您发出警告，因为数据无法与您所需的次数多项式正确拟合。

解决这个问题的方法是要么得到更多的点，这样你就可以得到你想要的多项式次数的所需拟合，或者减少你想要的多项式次数。

尝试小于 5...4、3 或 2 的值：

coeff = polyfit(x, y, 4);
%// or
%coeff = polyfit(x, y, 3);
%coeff = polyfit(x, y, 2);

尝试每个度数，直到不再收到警告为止。但是，没有实际数据，我只能推测出了什么问题，这是我最好的猜测。