评估多项式系数的最佳复杂度答案

【问题标题】：best complexity to evaluate coefficients of polynomial评估多项式系数的最佳复杂度
【发布时间】：2019-12-10 18:01:37
【问题描述】：

我想找出根为 0,1,2...n-1 的 n 次多项式的系数。有人能推荐一个好的算法吗？我尝试使用 FFT，但速度不够快

【问题讨论】：

有无数个具有这些根的多项式。你问的是(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)的系数吗？
另外，“评估所有系数”是什么意思？您的意思是从根生成系数吗？如果是这样，那么@btilly 的问题措辞是正确的。
或者您的意思是：“计算 (x) 的特定值的隐含多项式的值，仅给出多项式的根”。如果是这样，那么只需评估@btilly 给出的公式。但这是两个不同的问题。

标签： algorithm polynomial-math coefficients

【解决方案1】：

我会使用的简单解决方案是编写这样的函数：

def poly_with_root_sequence (start, end, gap):
    if end < start + gap:
        return Polynomial([1, -start])
    else:
        p1 = poly_with_root_sequence(start, end, gap*2)
        p2 = poly_with_root_sequence(start+gap, end, gap*2)
        return p1 * p2

answer = poly_with_root_sequence(1, n, 1)

使用简单算法，这将采用O(n^2) 算术运算。然而，一些操作将涉及非常大的数字。（请注意，对于大的 n，n! 的位数超过了 n。）但是我们已经安排了很少的操作会涉及非常大的数字。

除非您使用具有非常快的乘法算法的多项式实现，否则仍然没有机会尽可能快地产生答案。

https://gist.github.com/ksenobojca/dc492206f8a8c7e9c75b155b5bd7a099 宣称自己是 Python 中多项式相乘的 FFT 算法的实现。我无法验证。但它可以让你快速前进。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如Evaluating Polynomial coefficients 上的回复，您可以通过简单的方式做到这一点：

def poly(lst, x): 
  n, tmp = 0, 0
  for a in lst:
    tmp = tmp + (a * (x**n))
    n += 1

  return tmp

print poly([1,2,3], 2)

【讨论】：

我没有系数，我有根
还可以获得 n 多项式表达式的所有系数，您可以查看此参考：math.stackexchange.com/questions/3099594/…
理论上正确的解决方案和可接受的快速解决方案之间存在天壤之别。问题不在于如何进行计算，而在于如何快速进行。