如何用可变有限数量的元素求和？

Question

这是我尝试用 python（和任何编程语言）编写的第一件事，也是我在这里的第一个问题，所以我希望我能提供一切必要的帮助。

我有上三角矩阵，我需要求解方程组 Wx=y，其中给出了 W（3x3 矩阵）和 y（向量）。我不能使用 numpy.linalg 函数，所以我尝试实现this，但当然是倒退。 经过几次失败的尝试，我将任务限制在 3x3 矩阵上。没有循环，代码如下所示：

x[0,2]=y[2]/W[2,2]
x[0,1]=(y[1]-W[1,2]*x[0,2])/W[1,1]
x[0,0]=(y[0]-W[0,2]*x[0,2]-W[0,1]*x[0,1])/W[0,0]

现在，每个新总和都包含更多元素，这些元素是示意性的，但仍需要以某种方式定义。我想在 numpy 中必须有 sum 函数，但不是 linalg，它会做这样的事情，但我找不到它。 我最新的部分“尝试”是这样开始的：

n=3
for k in range(n):
    for i in range(n-k-1):
        x[0,n-k-1]=y[n-k-1]/W[n-k-1,n-k-1]

当然，它只包含每个总和的第一个元素。 如有任何帮助，我将不胜感激。

我正在处理的示例：

y=np.array([ 0.80064077,  2.64300842, -0.74912957])
W=np.array([[6.244998,2.88230677,-5.44435723],[0.,2.94827198,2.26990852],[0.,0.,0.45441135]]
n=W.shape[1]
x=np.zeros((1,n), dtype=np.float)

正确的解决方案应如下所示：

[-2.30857143  2.16571429 -1.64857143]

Answer 1

这是使用通用 n 和单循环的一种方法 -

def one_loop(y, W, n):
    out = np.zeros((1,n))
    for i in range(n-1,-1,-1):
        sums = (W[i,i+1:]*out[0,i+1:]).sum()
        out[0,i] = (y[i] - sums)/W[i,i]
    return out

为了提高性能，我们可以用点积代替减和步骤。因此，sums 可以这样计算 -

sums = W[i,i+1:].dot(x[0,i+1:])

样本运行

1) n = 3：

In [149]: y
Out[149]: array([ 5.,  8.,  7.])

In [150]: W
Out[150]: 
array([[ 6.,  6.,  2.],
       [ 3.,  3.,  3.],
       [ 4.,  8.,  5.]])

In [151]: x = np.zeros((1,3))
     ...: x[0,2]=y[2]/W[2,2]
     ...: x[0,1]=(y[1]-W[1,2]*x[0,2])/W[1,1]
     ...: x[0,0]=(y[0]-W[0,2]*x[0,2]-W[0,1]*x[0,1])/W[0,0]
     ...: 

In [152]: x
Out[152]: array([[-0.9       ,  1.26666667,  1.4       ]])

In [154]: one_loop(y, W, n=3)
Out[154]: array([[-0.9       ,  1.26666667,  1.4       ]])

2) n = 4：

In [156]: y
Out[156]: array([ 5.,  8.,  7.,  6.])

In [157]: W
Out[157]: 
array([[ 6.,  2.,  3.,  3.],
       [ 3.,  4.,  8.,  5.],
       [ 8.,  6.,  6.,  4.],
       [ 8.,  4.,  2.,  2.]])

In [158]: x = np.zeros((1,4))
     ...: x[0,3]=y[3]/W[3,3]
     ...: x[0,2]=(y[2]-W[2,3]*x[0,3])/W[2,2]
     ...: x[0,1]=(y[1]-W[1,3]*x[0,3]-W[1,2]*x[0,2])/W[1,1]
     ...: x[0,0]=(y[0]-W[0,3]*x[0,3]-W[0,2]*x[0,2]-W[0,1]*x[0,1])/W[0,0]
     ...: 

In [159]: x
Out[159]: array([[-0.22222222, -0.08333333, -0.83333333,  3.        ]])

In [160]: one_loop(y, W, n=4)
Out[160]: array([[-0.22222222, -0.08333333, -0.83333333,  3.        ]])

Answer 2

再看一次（现在更新为Divakar 在另一个答案中提供的最新技术）：

import numpy as np
y=np.array([ 0.80064077,  2.64300842, -0.74912957])
W=np.array([[6.244998,2.88230677,-5.44435723],[0.,2.94827198,2.26990852],[0.,0.,0.45441135]])
n=W.shape[1]
x=np.zeros((1,n), dtype=np.float)

for i in range(n-1, -1, -1):
    x[0,i] = (y[i]-W[i,i+1:].dot(x[0,i+1:]))/W[i,i]
print(x)

给予：

[[-2.30857143  2.16571429 -1.64857143]]

Answer 3

我的看法

n=3
for k in range(n):
    print("s=y[%d]"% (n-k-1))
    s = y[n-k-1]
    for i in range(0,k):
        print("s - W[%d,%d]*x[0,%d]" % (n-k-1, n-i-1, n-i-1))
        s = s - W[n-k-1,n-i-1]*x[0,n-i-1]
    print("x[0,%d] = s/W[%d,%d]" % (n-k-1,n-k-1,n-k-1))
    x[0,n-k-1] = s/W[n-k-1,n-k-1]
print(x)

并且没有打印语句

n=3
for k in range(n):
    s = y[n-k-1]
    for i in range(0,k):
        s = s - W[n-k-1,n-i-1]*x[0,n-i-1]
    x[0,n-k-1] = s/W[n-k-1,n-k-1]
print(x)

输出

s=y[2]
x[0,2] = s/W[2,2]
s=y[1]
s - W[1,2]*x[0,2]
x[0,1] = s/W[1,1]
s=y[0]
s - W[0,2]*x[0,2]
s - W[0,1]*x[0,1]
x[0,0] = s/W[0,0]
[[-2.30857143  2.16571429 -1.64857143]]