向排列添加约束

Question

我正在尝试使用 list = [0,1,2,3,4,5,6] 计算所有排列，并遵守一些约束。

• 位置 0 必须 > 3
• 位置 3 + 位置 5

使用我当前的代码，我确定所有排列和迭代，并应用约束。

import itertools

Used_permutations = []    
numbers = [0,1,2,3,4,5,6]
all_permutations = list(itertools.permutations(numbers)) #Determine all permutations

for permutation in all_permutations:
    if permutation[0] > 3 and permutation[3] + permutation[5] < permutation[4]: #Constraints applied to permutations
        Used_permutations.append(permutation)  
        ####################################################
        ###   Apply calculations to current permutation ###
        ####################################################

这段代码的问题是我浪费时间寻找所有可能的排列，只是为了再次过滤掉它们。有人可以协助在确定排列时应用约束的方法，因此并非全部为 N！确定了吗？

Answer 1

您可以使用列表推导过滤产生的排列，而不是首先创建所有排列的list，然后将其中一些元素添加到第二个列表并丢弃其余元素（在这种情况下约为 90%）由itertools 创建。

>>> numbers = [0,1,2,3,4,5,6]
>>> [p for p in itertools.permutations(numbers) if p[0] > 3 and p[3] + p[5] < p[4]]
[(4, 0, 1, 2, 6, 3, 5),
 (4, 0, 1, 3, 6, 2, 5),
 ... a few more ...
 (6, 5, 4, 1, 3, 0, 2),
 (6, 5, 4, 2, 3, 0, 1)]
>>> len(_)
516

如果检查变得更复杂，您甚至不必使用列表推导式。您可以在带有if 条件的常规for 循环中执行相同的操作，唯一的区别是您不首先收集list 中的所有排列，而是直接迭代生成器：

all_permutations = itertools.permutations(numbers)  # no list(...)
for permutation in all_permutations:
    ...

这两种方法仍将生成所有 N！排列，但大多数会立即被丢弃，只有“正确”的排列存储在列表中。

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如果您甚至不想生成它们，则必须实现自定义递归 permutations 算法并手动检查是否例如对于p[3] 的给定值，p[5] 可以有任何有效值，依此类推。像这样的：

def manual_permutations(numbers, n=0, last=0, lastlast=0):
    if len(numbers) <= 1:
        yield tuple(numbers)
    else:
        for i, first in enumerate(numbers):
            # first constraint
            if n == 0 and first <= 3: continue
            # second constraint: 3 + 5 < 4 === 3 - 4 < -5 === 3 < 4 - 5
            # assuming numbers are ordered: rest[0] is min, rest[-1] is max
            rest = numbers[:i] + numbers[i+1:]
            if n == 3 and first >= rest[-1] - rest[0]: continue
            if n == 4 and last - first >= - rest[0]: continue
            if n == 5 and lastlast - last >= - first: continue
            # constraints okay, recurse
            for perm in manual_permutations(rest, n+1, first, last):
                yield (first,) + perm

这会在生成排列时检查两个约束，这样如果例如根本不会生成以数字<= 3 开头的所有排列。第二个检查有点复杂，可能会进一步改进（如果我们在函数的开头添加一个计数器，我们会看到大约有 1200 个递归调用）。无论如何，使用 IPython 的 %timeit，我们看到动态检查的“手动”方法仍然比使用 itertools 慢三倍，因此即使改进检查也可能不会使其更快^*) 此外，您自己的原始循环实际上也没有那么慢。

>>> %timeit original_loop(numbers)
1000 loops, best of 3: 736 µs per loop

>>> %timeit list(itertools_perms(numbers))
1000 loops, best of 3: 672 µs per loop

>>> %timeit list(manual_permutations(numbers))
100 loops, best of 3: 2.11 ms per loop

当然，根据输入列表的大小和约束，手动方法可以或多或少地节省成本，但也可能（或多或少）难以实施或适应不断变化的约束。就个人而言，我仍然会使用itertools.permutations 和一些简单易读的过滤器。

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^*) 更新：在我之前的编辑中，手动方法出来得更快；这是因为我忘了真正使用这两个函数返回的生成器。