计算公平掷骰子的概率（在非指数时间内）

Question

这方面的变化是很常见的问题，但我所有的 google-fu 都让我感到困惑。我想计算掷骰子公平的几率，但我想有效地做到这一点。有很多例子可以说明如何做到这一点，但我发现的所有算法在计算上都过于昂贵（指数时间），无法处理大量具有多面的骰子。

简单问题：计算在 x y 面骰子上掷出 n 的几率。

简单的解决方案：创建滚动的 n 元笛卡尔积，对每个积求和，计算和为目标的次数，做一点除法，瞧。

Go 中的简单解决方案示例： https://play.golang.org/p/KNUS4YBQC0g

简单的解决方案完美运行。我对其进行了扩展，以允许删除最高/最低 n 面等情况，结果经得起现场测试。

但是考虑{Count: 20,Sides: 20,DropHighest: 0,DropLowest:0, Target: 200}。

如果我使用之前的解决方案进行评估，我的“表”将有 104 个奇怪的 septillion 单元，并且很容易使 CPU 最大化。

有没有更有效的方法来计算大量多面骰子的概率？如果是这样，它能否解释更复杂的“成功”条件选择，例如丢掉一些骰子？

我相信这是可能的，因为这个漂亮的网站的存在：https://anydice.com/program/969

编辑：

最适合我的解决方案是 David Eisenstat 的回答，我将其移植到：https://play.golang.org/p/cpD51opQf5h

Answer 1

这里有一些代码可以处理低掷和高掷。很抱歉切换到 Python，但我需要简单的 bignums 和一个记忆库来保持理智。我认为复杂性类似于O(count^3 sides^2 drop_highest)。

此代码的工作方式是将count 骰子每个与sides 面的可能性空间除以显示最大数量的骰子数量（count_showing_max）。有binomial(count, count_showing_max) 方法可以在唯一标记的骰子上实现这种滚动，因此multiplier。给定count_showing_max，我们可以计算出有多少骰子因为高而被丢弃，有多少骰子因为低而被丢弃（它确实发生了），并将这个总和添加到剩余骰子的结果中。

#!/usr/bin/env python3
import collections
import functools
import math


@functools.lru_cache(maxsize=None)
def binomial(n, k):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))


@functools.lru_cache(maxsize=None)
def outcomes(count, sides, drop_highest, drop_lowest):
    d = collections.Counter()
    if count == 0:
        d[0] = 1
    elif sides == 0:
        pass
    else:
        for count_showing_max in range(count + 1):  # 0..count
            d1 = outcomes(count - count_showing_max, sides - 1,
                          max(drop_highest - count_showing_max, 0),
                          drop_lowest)
            count_showing_max_not_dropped = max(
                min(count_showing_max - drop_highest,
                    count - drop_highest - drop_lowest), 0)
            sum_showing_max = count_showing_max_not_dropped * sides
            multiplier = binomial(count, count_showing_max)
            for k, v in d1.items():
                d[sum_showing_max + k] += multiplier * v
    return d


def main(*args):
    d = outcomes(*args)
    denominator = sum(d.values()) / 100
    for k, v in sorted(d.items()):
        print(k, v / denominator)


if __name__ == '__main__':
    main(5, 6, 2, 2)

Answer 2

您可以通过在变量Z 中乘以以下多项式来计算x y 面骰子之和的分布：

(Z + Z^2 + ... + Z^x)^y / x^y.

例如，对于两个六面骰子：

(Z + Z^2 + ... + Z^6)^2 / 6^2
  = (Z + Z^2 + ... + Z^6) * (Z + Z^2 + ... + Z^6) / 36
  = (Z^2 + 2Z^3 + 3Z^4 + 4Z^5 + 5Z^6 + 6Z^7 + 5Z^8 + 4Z^9 + 3Z^10 + 2Z^11 + Z^12) / 36,

所以你可以读出得到和6 的概率作为Z^6 (5/36) 的系数。

对于三个“双面”骰子：

(Z + Z^2)^3 / 2^3 = (Z + Z^2) * (Z + Z^2) * (Z + Z^2) / 8
                  = (Z^2 + 2Z^3 + Z^4) (Z + Z^2) / 8
                  = (Z^3 + 3Z^4 + 3Z^5 + Z^6) / 8,

所以得到和4的概率是Z^4（3/8）的系数。

你可以使用学校算法来得到这个问题的多项式算法。轻度测试的 Go 代码：

package main

import "fmt"

func dieRolls(x, y int) map[int]float64 {
    d := map[int]float64{0: 1.0}
    for i := 0; i < x; i++ {
        d1 := make(map[int]float64)
        for j := 1; j <= y; j++ {
            for k, v := range d {
                d1[k+j] += v / float64(y)
            }
        }
        d = d1
    }
    return d
}

func main() {
    for k, v := range dieRolls(2, 6) {
        fmt.Printf("%d %g\n", k, v)
    }
    fmt.Printf("\n")
    for k, v := range dieRolls(3, 2) {
        fmt.Printf("%d %g\n", k, v)
    }
}

运行代码：https://play.golang.org/p/O9fsWy6RZKL