基于权重对图中顶点进行分类的算法

Question

我有以下完整的加权图，其中每个权重表示一个顶点与下一个属于同一类别的概率。我先验地知道某些顶点所属的类别；我如何能够对所有其他顶点进行分类？

以更详细的方式，我可以将问题描述如下；从所有顶点 N 和集群 C 中，我们有一个集合，我们可以确定一个节点所属的特定集群：P(v_n|C_n)=1。从给定的图表中，我们还知道对于每个节点，每个其他节点与它属于同一集群的概率：P(v_n1∩C_n2)。由此，我们如何估计每个其他节点的集群？

Answer 1

设w_i 是一个向量，其中w_i[j] 是节点j 在迭代i 时位于集群中的概率。

我们定义w_i：

w_0[j] =  1       j is given node in the class
          0       otherwise
w_{i}[j] = P(j | w_{i-1})

其中：P(j | w_{i-1}) 是 j 在集群中的概率，假设我们知道每个其他节点 k 在其中的概率，如 w_{i-1}[k]。

我们可以计算出上面的概率：

P(j | w_{i-1}) = 1- (1- w_{i-1}[0]*c(0,j))*(1- w_{i-1}[1]*c(1,j))*...*(1- w_{i-1}[n-1]*c(n-1,j))

在这里：

• w_{i-1} 是最后一次迭代的输出。
• c(x,y)是边(x,y)的权重
• c(x,x) = 1

重复直到收敛，在收敛的向量中（设为w），j在集群中的概率为w[j]

---

概率函数说明：

为了使一个节点不在集合中，它需要所有其他节点“决定”不共享它。
所以，发生这种情况的概率是：

(1- w_{i-1}[0]*c(0,j))*(1- w_{i-1}[1]*c(1,j))*...*(1- w_{i-1}[n-1]*c(n-1,j))
      ^                            ^                       ^
node 0 doesn't share      node 1 doesn't share     node n-1 doesn't share

为了在课堂上，至少有一个节点需要“共享”，所以发生这种情况的概率是互补的，这就是我们为P(j | w_{i-1})推导的公式

Answer 2

你应该从结果的定义开始。你应该如何显示归属的概率？

恕我直言，结果应该是一组类别和一个表格：顶点的行和类别的列，并且在单元格中，该顶点可能属于该类别。

只有当你已经有一些已知的概率时，你的图表才能设置一些归属概率。即，该表已经部分填满。

在根据边缘的起始值和权重填充表格时，我们肯定会遇到这种情况，当我们在单元格中获得不同的概率时，以不同的方式进入它。还要设置一点：我们可以更改表中的起始值还是几乎不设置它们？边的权重也有同样的问题。

现在任务部分定义了，部分非常非常小。你连类别的数量都不知道！

设置完所有这些规则和数字后，一切都变得非常简单 - 使用小二乘高斯方法。至于迭代方式，请小心 - 您事先不知道解决方案是否稳定或是否存在。如果没有，迭代将不会收敛，并且您为它编写的整个代码都是徒劳的。通过高斯方法，您将获得一组线性方程，并编写标准算法来解决所有情况。最后，您不仅有解决方案，还有每个最终值的可能错误。