损失函数和深度学习

Question

来自 deeplearning.ai：

构建神经网络的一般方法是：

1. 定义神经网络结构（输入单元数、隐藏单元数等）。
2. 初始化模型的参数
3. 循环：
   • 实现前向传播
   • 计算损失
   • 实施反向传播以获得梯度
   • 更新参数（梯度下降）

损失函数如何影响网络的学习方式？

例如，这是我认为是正确的前向和反向传播的实现，因为我可以使用以下代码训练模型以获得可接受的结果：

for i in range(number_iterations):


  # forward propagation


    Z1 = np.dot(weight_layer_1, xtrain) + bias_1
    a_1 = sigmoid(Z1)

    Z2 = np.dot(weight_layer_2, a_1) + bias_2
    a_2 = sigmoid(Z2)

    mse_cost = np.sum(cost_all_examples)
    cost_cross_entropy = -(1.0/len(X_train) * (np.dot(np.log(a_2), Y_train.T) + np.dot(np.log(1-a_2), (1-Y_train).T)))

#     Back propagation and gradient descent
    d_Z2 = np.multiply((a_2 - xtrain), d_sigmoid(a_2))
    d_weight_2 = np.dot(d_Z2, a_1.T)
    d_bias_2 = np.asarray(list(map(lambda x : [sum(x)] , d_Z2)))
    #   perform a parameter update in the negative gradient direction to decrease the loss
    weight_layer_2 = weight_layer_2 + np.multiply(- learning_rate , d_weight_2)
    bias_2 = bias_2 + np.multiply(- learning_rate , d_bias_2)

    d_a_1 = np.dot(weight_layer_2.T, d_Z2)
    d_Z1 = np.multiply(d_a_1, d_sigmoid(a_1))
    d_weight_1 = np.dot(d_Z1, xtrain.T)
    d_bias_1 = np.asarray(list(map(lambda x : [sum(x)] , d_Z1)))
    weight_layer_1 = weight_layer_1 + np.multiply(- learning_rate , d_weight_1)
    bias_1 = bias_1 + np.multiply(- learning_rate , d_bias_1)

注意以下几行：

mse_cost = np.sum(cost_all_examples)
cost_cross_entropy = -(1.0/len(X_train) * (np.dot(np.log(a_2), Y_train.T) + np.dot(np.log(1-a_2), (1-Y_train).T)))

我可以使用 mse 损失或交叉熵损失来了解系统的学习情况。但这仅供参考，成本函数的选择不会影响网络的学习方式。我相信我没有像深度学习文献中所说的那样理解基本的东西，损失函数的选择是深度学习的重要一步？但如我上面的代码所示，我可以选择交叉熵或 mse 损失，并且不会影响网络的学习方式，交叉熵或 mse 损失仅用于信息目的？

更新：

例如，这里是一个来自 deeplearning.ai 的计算成本的 sn-p 代码：

# GRADED FUNCTION: compute_cost

def compute_cost(A2, Y, parameters):
    """
    Computes the cross-entropy cost given in equation (13)

    Arguments:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation, of shape (1, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
    parameters -- python dictionary containing your parameters W1, b1, W2 and b2

    Returns:
    cost -- cross-entropy cost given equation (13)
    """

    m = Y.shape[1] # number of example

    # Retrieve W1 and W2 from parameters
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    W1 = parameters['W1']
    W2 = parameters['W2']
    ### END CODE HERE ###

    # Compute the cross-entropy cost
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    logprobs = np.multiply(np.log(A2), Y) + np.multiply((1 - Y), np.log(1 - A2))
    cost = - np.sum(logprobs) / m
    ### END CODE HERE ###

    cost = np.squeeze(cost)     # makes sure cost is the dimension we expect. 
                                # E.g., turns [[17]] into 17 
    assert(isinstance(cost, float))

    return cost

此代码按预期运行并实现高精度/低成本。除了向机器学习工程师提供有关网络学习情况的信息外，此实现中不使用成本值。这让我质疑成本函数的选择如何影响神经网络的学习方式？

Answer 1

嗯，这只是一个粗略的高级尝试，以回答可能对 SO 来说是题外话的问题（原则上我理解您的困惑）。

除了向机器学习工程师提供有关网络学习效果的信息外，此实现中不使用成本值。

这实际上是正确的；仔细阅读 Andrew Ng 为您发布的 compute_cost 函数的 Jupyter 笔记本，您会看到：

5 - 成本函数

现在您将实现前向和后向传播。您需要计算成本，因为您想检查您的模型是否真的在学习。

从字面上看，这是在代码中显式计算成本函数的实际值的唯一原因。

但这仅供参考，成本函数的选择不会影响网络的学习方式。

没那么快！这是（通常是不可见的）捕获：

成本函数的选择决定了用于计算 dw 和 db 数量的精确方程，因此是学习过程。

注意这里我说的是函数本身，而不是它的值。

换句话说，像你的计算

d_weight_2 = np.dot(d_Z2, a_1.T)

和

d_weight_1 = np.dot(d_Z1, xtrain.T)

没有从天上掉下来，但它们是应用到特定成本函数的反向传播数学的结果。

以下是 Andrew 在 Coursera 的入门课程中的一些相关高级幻灯片：

希望这会有所帮助；从成本函数的导数开始，我们如何精确地得出dw 和db 的特定计算形式的细节超出了本文的范围，但您可以在网上找到一些关于反向传播的好教程（here 是一个）。

最后，对于当我们选择错误的成本函数（用于多类分类的二元交叉熵，而不是正确的分类交叉熵）时可能发生的情况的（非常）高级描述，您可以查看在Keras binary_crossentropy vs categorical_crossentropy performance?我的回答中。