岭回归：Scikit-learn 与直接计算不匹配 alpha > 0

Question

在岭回归中，我们使用L2 正则化解决Ax=b。直接计算如下：

x = (A^TA + alpha * I)^-1A^Tb

我查看了 scikit-learn 代码，它们确实实现了相同的计算。但是，对于alpha > 0，我似乎无法得到相同的结果

重现这一点的最少代码。

import numpy as np
A = np.asmatrix(np.c_[np.ones((10,1)),np.random.rand(10,3)])
b = np.asmatrix(np.random.rand(10,1))
I = np.identity(A.shape[1])
alpha = 1
x = np.linalg.inv(A.T*A + alpha * I)*A.T*b
print(x.T)
>>> [[ 0.37371021  0.19558433  0.06065241  0.17030177]]

from sklearn.linear_model import Ridge
model = Ridge(alpha = alpha).fit(A[:,1:],b)
print(np.c_[model.intercept_, model.coef_])
>>> [[ 0.61241566  0.02727579 -0.06363385  0.05303027]]

有什么建议可以解决这个差异吗？

Answer 1

这种修改似乎对直接版本和 numpy 版本产生了相同的结果：

import numpy as np
A = np.asmatrix(np.random.rand(10,3))
b = np.asmatrix(np.random.rand(10,1))
I = np.identity(A.shape[1])
alpha = 1
x = np.linalg.inv(A.T*A + alpha * I)*A.T*b
print (x.T)


from sklearn.linear_model import Ridge
model = Ridge(alpha = alpha, tol=0.1, fit_intercept=False).fit(A ,b)

print model.coef_
print model.intercept_

似乎造成差异的主要原因是Ridge 类具有参数fit_intercept=True（通过从_BaseRidge 类继承）（source）

这是在将矩阵传递给_solve_cholesky 函数之前应用数据中心化过程。

这是 ridge.py 中的代码

        X, y, X_mean, y_mean, X_std = self._center_data(
        X, y, self.fit_intercept, self.normalize, self.copy_X,
        sample_weight=sample_weight)

此外，您似乎试图通过添加 1 的列来隐式解释截距。如您所见，如果您指定 fit_intercept=False

附录：Ridge 类是否真的实现了直接公式？

这取决于solver参数的选择。

实际上，如果您没有在Ridge 中指定solver 参数，则默认采用solver='auto'（内部采用solver='cholesky'）。这应该相当于直接计算。

严格来说，_solve_cholesky 使用numpy.linalg.solve 而不是numpy.inv。但是可以很容易地检查出来

np.linalg.solve(A.T*A + alpha * I, A.T*b)

与

产生相同的结果

np.linalg.inv(A.T*A + alpha * I)*A.T*b