排序需要多少操作？

Question

这是一道 2016 年入学考试题：

我们有 N 个重量不同且未知的球，标签为 1 到 n。我们有一个两盘天平，想用它来成对称重这些球并将它们写在纸上，以便对所有这些球进行分类。 在最坏的情况下，需要多少次称重操作？选择最佳答案。

a) Ceil[ n log₂ n ]
b) 楼层[ n log₂ n ]
c) n − 1
d) Ceil[ log₂ n! ]

根据答题卡，正确答案是：Ceil[ log₂ n! ]

我的问题是：这个解决方案是如何实现的（这个算法是如何工作的，有没有伪代码？）？

Answer 1

如果您查看 Number of Comparisons in Merge-Sort，您会发现我的回答是，合并排序（已知具有良好的渐近行为）的比较总数是

n ⌈log₂ n⌉ − 2^{⌈log₂ n⌉} + 1

当然 n ⌈log₂ n⌉ = ⌈n log₂ n⌉ 和 2^{⌈log₂ n⌉ ≥ n 所以对于 n ≥ 1 这确认了答案 (a) 作为一个上限。}

(b) 是更严格的上限吗？如果你写 ⌈log₂ n⌉ = log₂ n + d for some 0 ≤ d n (log₂ n + d) - 2^d n + 1 = n (log₂ n + d - 2^{d) + 1 = (n log₂ n) + n (d − 2d + 1/n)
如果你写 m := ⌈log₂ n⌉ 和 n = 2m − d 最后一个括号变成 (d − 2d + 2d − m）。 Plotting this 对于某些 m 值表明，对于整数 m ≥ 1，这将 非常 可能为零。对于 n = 1，您得到 m = 0，这意味着 d = 0，因此整个括号变为零。因此，当您计算出证明的细节时，这将表明 (b) 确实是归并排序的上限。}

(c) 怎么样？ n = 3 有一个简单的反例。如果您知道球 1 比 2 轻且小于 3，这并不能告诉您如何对 2 和 3 进行排序。您可以证明您不能选择次优通过比较 1 与 2 和 3 的算法，由于问题的对称性，这是一种一般情况。所以 (c) 不是一个上限。它可以是一个下限吗？当然，即使要确认球已经订购，您也必须对每一对连续的球进行称重，从而进行 n − 1 次比较。即使使用最好的算法，你也不能比猜测正确的顺序然后确认你的猜测做得更好。

(d) 是更严格的下限吗？ Plots 再次建议它至少与 (c) 一样大，但没有整数值的小区域除外。因此，如果它是一个下限，它会更紧。现在想想决策树。排序这 n 个球的每个算法都可以写成二叉决策树：您比较在给定节点中命名的两个球，并根据比较的结果继续执行两个可能的后续步骤之一。该决策树必须有 n!叶子，因为每个排列都必须是一个不同的叶子，所以一旦你到达叶子，你就知道确切的排列。和一棵有 n! 的二叉树！叶子的深度必须至少为 ⌈log₂ n!⌉。所以是的，这也是一个下限。

总结所有这些，您有 (c) ≤ (d) ≤ x ≤ (b) ≤ (a)，其中 x 表示最佳算法需要对所有球进行排序的比较次数。正如 Mark Dickinson 的评论所指出的，A036604 on OEIS 给出了一些 n 的明确下界，对于 n = 12，不等式 (d)

顺便说一句（并回答你的“这个算法是如何工作的”），找到给定 n 的最优算法相当容易，至少在理论上是这样：计算那些 n 的所有可能的决策树！排序，并选择一个深度最小的。当然，这种方法很快就会变得不切实际。

既然我们知道没有一个答案给出了最佳排序算法的正确计数，那么哪个答案是“最好的”？这在很大程度上取决于上下文。在许多应用中，知道最坏时间行为的上限比知道下限更有价值，因此 (b) 将优于 (d)。但显然，创建解决方案表的人有不同的意见，并选择了 (d)，要么是因为它更接近最优值（我假设但尚未证明），要么是因为下限对手头的应用程序更有用.如果您愿意，您可能会质疑整个问题，理由是“最佳”在问题范围内没有得到充分定义。