如何在 or-tools 中定义复杂的目标函数？

Question

我想知道如何使用 or-tools 定义一个复杂的目标函数（如果可能的话）。

下面的基本示例展示了如何在 python 中使用 Or-tools 解决基本的线性问题：

solver = pywraplp.Solver('lp_pricing_problem', pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)

# Define variables with a range from 0 to 1000.
x = solver.NumVar(0, 1000, 'Variable_x')
y = solver.NumVar(0, 1000, 'Variable_y')

# Define some constraints.
solver.Add(x >= 17)
solver.Add(x <= 147)
solver.Add(y >= 61)
solver.Add(y <= 93)

# Minimize 0.5*x + 2*y
objective = solver.Objective()
objective.SetCoefficient(x, 0.5)
objective.SetCoefficient(y, 2)
objective.SetMinimization()

status = solver.Solve()

# Print the solution
if status == solver.OPTIMAL:
    print("x: {}, y: {}".format(x.solution_value(), y.solution_value())) # x: 17.0, y: 61.0 

在这个非常基本的例子中，目标函数是Minimize(0.5*x + 2*y)。 例如，获得最小二乘法Minimize(x^2 + y^2) 或变量绝对值Minimize(abs(x) + y) 的语法是什么？

是否可以定义一个子函数并将其调用到目标函数中？还是我应该采取其他方式？

非常感谢，

罗曼

Answer 1

你已经用linear-programming标记了这个问题，所以你已经有了在这里找出答案的材料。

如果您查看this page，您会发现 OR-Tools 解决了线性程序，以及少数其他优化问题系列。

所以你提到的第一个目标函数，Minimize(0.5*x + 2*y) 是可解的，因为它是线性的。

您提到的第二个目标---Minimize(x^2 + y^2)--- 无法使用 OR-Tools 解决，因为它是非线性的：这些平方项使其成为二次项。要解决这个问题，您需要能够做到quadratic programming、second-order cone programming 或quadratically constrained quadratic programming 的东西。所有这些方法都将线性规划作为子集。我推荐用于解决这类问题的工具是cvxpy，它提供了一个强大而优雅的界面。 （或者，您可以将二次近似为分段线性，但您会遇到更多约束。）

您提到的最后一个目标，Minimize(c*abs(x) + y) 可以作为线性程序求解，即使 abs(x) 本身是非线性的。为此，我们将目标重写为min( c*(t1-t2) +y) 并添加约束t1,t2>=0。只要c 是正数并且您正在最小化（或c 是负数并且您正在最大化），它就可以工作。更长的解释是here。

您可以执行许多这样的转换，而数学程序员/运筹学研究人员的一项技能就是记住其中的许多。