如何标准化尾数

Question

我正在尝试将int 转换为自定义浮点数，其中用户指定为 exp 和尾数保留的位数，但我不明白转换是如何工作的。我的函数接受一个 int 值和 int exp 来表示数字（值 * 2^exp），即 value = 12，exp = 4，返回 192。但我不明白我需要做些什么来改变这些。几天来我一直在研究这个并使用 IEEE 转换器网络应用程序，但我只是不明白规范化过程是什么。就像我看到它“移动二进制点并调整指数”但我不知道这是什么意思，谁能给我一个例子吗？我也不明白指数偏差是什么。我拥有的唯一信息是您只是在指数中添加了一个数字，但我不明白为什么。我一直在谷歌上搜索一个我能理解的例子，但这对我来说没有任何意义

Answer 1

当我们强制其尾数的整数部分恰好为1 并允许其小数部分为我们喜欢的任何值时，浮点数被标准化。

例如，如果我们取数字13.25，即二进制的1101.01，1101 将是整数部分，01 将是小数部分。

我可以将13.25 表示为1101.01*(2^0)，但这不是标准化的，因为整数部分不是1。 但是，如果我们将指数增加 1，我们可以将尾数右移一位：

  1101.01*(2^0)
= 110.101*(2^1)
= 11.0101*(2^2)
= 1.10101*(2^3)

这种表示1.10101*(2^3) 是13.25 的规范化形式。

---

也就是说，我们知道标准化浮点数总是以1.fffffff * (2^exp)

的形式出现

为了提高效率，我们不费心将1 整数部分存储在二进制表示本身中，我们只是假装它在那里。因此，如果我们给您定制的浮点类型 5 位作为尾数，我们会知道位 10100 实际上代表 1.10100。

以下是标准 23 位尾数的示例：

---

至于指数偏差，我们来看看标准的32位float格式，它分为3部分：1个符号位、8个指数位和23个尾数位：

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

指数00000000 和11111111 有特殊用途（比如表示Inf 和NaN），因此使用8 个指数位，我们可以表示254 个不同的指数，比如2^1 到2^254，对于例子。但是如果我们想代表2^-3呢？我们如何得到负指数？

该格式通过自动从指数中减去 127 解决了这个问题。因此：

• 0000 0001 将是 1 -127 = -126
• 0010 1101 将是 45 -127 = -82
• 0111 1111 将是 127-127 = 0
• 1001 0010 将是 136-127 = 9

这会将指数范围从2^1 ... 2^254 更改为2^-126 ... 2^+127，因此我们可以表示负指数。

Answer 2

Tommy -- chux 和 eigenchris 以及其他人都提供了很好的答案，但是如果我正确地查看了您的 cmets，您似乎仍然在为“我将如何获取此信息”的具体细节而苦苦挣扎然后在创建自定义浮点表示时使用它，其中用户指定指数的位数？”不要难过，前十次经过它，它就像泥巴一样清澈。我想我可以尝试一下清理它。

您熟悉 IEEE754-Single-Precision-Floating-Point 表示：

IEEE-754 Single Precision Floating Point Representation of (13.25)

  0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -|
 |s|      exp      |                  mantissa                   |

1-bit sign-bit、8-bit biased exponent（8 位超 127 表示法）和剩余的23-bit mantissa。

当您允许用户选择指数中的位数时，您将不得不修改指数符号以使用新的用户选择的限制。

会发生什么变化？

• 它会改变sign-bit 的处理方式吗 -- 否。

• 它会改变mantissa 的处理方式吗 -- 否 （您仍将尾数/有效位转换为“隐藏位”格式）。

所以你唯一需要关注的是exponent handling。

你会如何处理这个问题？回想一下，当前的 8 位指数采用所谓的 excess-127 表示法（其中 127 表示 7 位的最大值，允许在当前 8-bit 中包含和表达任何偏差限制。如果您的用户选择 6 位作为指数大小，那该怎么办？您将必须提供类似的方法来确保您有一个固定的数字来表示您的新 excess-## 表示法有效在用户范围内。

采用6-bit 用户限制，然后可以尝试选择无偏指数值作为31（可以在5-bits 中表示的最大值）。为此，您可以应用相同的逻辑（以上面的 13.25 为例）。您对数字的二进制表示是 1101.01，您将小数点 3 positions to the left 移到其中得到 1.10101，这给您提供了 3 的指数偏差。

在您的6-bit exponent 情况下，您将添加3 + 31 以获得指数excess-31 notation：100010，然后将尾数置于“隐藏位”格式（即从@987654342 中删除前导1 @ 生成新的自定义 Tommy Precision 表示：

IEEE-754 Tommy Precision Floating Point Representation of (13.25)

  0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -|
 |s|    exp    |                    mantissa                     |

使用1-bit sign-bit、6-bit biased exponent（6 位超31 表示法）和剩余的25-bit mantissa。

同样的规则也适用于逆向从上述符号中获取浮点数的过程。 （只是使用31 而不是127 来支持指数的偏差）

希望这在某种程度上有所帮助。如果您真的要允许用户选择的指数大小，我看不出还有什么可以做的。请记住，IEEE-754 标准并不是人们猜测的东西，许多很好的推理和权衡都是为了达到 1-8-23 符号-指数-尾数布局。但是，我认为您的练习在要求您牢牢理解标准方面做得很好。

现在完全迷失了，并且未在此讨论中解决这会对Custom Precision Floating Point Representation 中可以表示的数字范围产生什么影响。我没有看过它，但主要的限制似乎是减少了可以表示的MAX/MIN。

Answer 3

“标准化过程”将输入转换为选择范围。

binary32 期望有效数（不是尾数）在 1.0 <= s < 2.0 范围内，除非该数字具有最小指数。

示例：
value = 12, exp = 4 与
value = 12/(2*2*2), exp = 4 + 3
value = 1.5, exp = 7 相同

由于有效数字的前导数字始终为1（除非该数字具有最小指数），因此无需存储它。而不是将指数存储为7，而是向其添加了 127 的偏差。

值 = 1.5 十进制 --> 1.1000...000 二进制 --> 0.1000...000 存储二进制（总共 23 位）
exp = 7 --> 偏置 exp 7 + 127 --> 134 十进制 --> 10000110 二进制

存储的二进制模式是“符号”、“隐含前导 1 位的有效数字”和“偏置指数”的串联

0 10000110 1000...000 (1 + 8 + 23 = 32 bits)

当偏置指数为0 - 最小值时，隐含位为0，因此可以存储像0.0 这样的小数。

当偏差指数为255 - 最大值时，存储的数据不再代表有限数，而是“无穷大”和“非数字”。

查看参考链接了解更多详情。

Answer 4

要回答有关“如何在代码中执行此操作”的评论： （假设它是一个 IEEE 浮点数）

A) 从 IEEE 浮点数中提取无符号“指数”和“尾数”。

i) exp = 0x7F800000 & yourFloatVar;

//这从浮点数中获取位 b1 到 b8。 （b0 是有符号位，b9 和 on 是尾数）

ii) exp = exp >> 23; //右移，所以这个指数是右向的

iii) exp += 127; //添加偏差（127 仅适用于 32 位）

iv) mantissa = 0x007FFFFF & yourFloatVar; //从浮点数中取出最后 23 位

B) 标准化

我）

while(true)
{
    if( ((mantissa & 0xC0000000) != 0x80000000)
         &&((mantissa & 0xC0000000) != 0x40000000) )
    {
        mantissa = mantissa << 1;
        exponent--;
    }
    else //AKA the float has been normalized
    {
        break;
    }
}

如果前导 2 位不是 '01' 或 '10'（这是 2 的补码的属性 - 归一化的条件），则移动尾数并减少指数。

我想指出，这根本不是最有效的算法；我只是想把步骤说清楚。希望我没有错过任何东西！

Answer 5

要规范化尾数，请将小数点放在最左边的非零数字的左侧

例如

以标准化形式表示 10.11 base 2

= 0.1011 base 2 * 2 的二次方

以二为底是因为您使用的是二进制数，而 +ve 2 的幂是因为您将小数点向左移动了两次。请记住，mantizza 只使用了 4 位

所以 mantizza 将是 1011