有向无权图中的最长非循环路径答案

【问题标题】：Longest acyclic path in a directed unweighted graph有向无权图中的最长非循环路径
【发布时间】：2010-03-26 17:26:58
【问题描述】：

什么算法可以用来在未加权的有向无环图中找到最长的路径？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

Dynamic programming。在Longest path problem 中也引用了它，因为它是一个 DAG。

以下代码来自维基百科：

algorithm dag-longest-path is
    input: 
         Directed acyclic graph G
    output: 
         Length of the longest path

    length_to = array with |V(G)| elements of type int with default value 0

    for each vertex v in topOrder(G) do
        for each edge (v, w) in E(G) do
            if length_to[w] <= length_to[v] + weight(G,(v,w)) then
                length_to[w] = length_to[v] + weight(G, (v,w))

    return max(length_to[v] for v in V(G))

【讨论】：

这仅返回路径的长度。是否可以轻松修改代码以返回路径？
是的，大多数 DP 问题都采用同样的方式——跟踪前一个问题并返回。
topOrder(G)是topological order中G的顶点列表
因此循环从“源”（没有传入边缘）开始，以“接收器”（没有传出边缘）结束
a paper with same algorithm 但如果您需要，更容易遵循基本原理。

【解决方案2】：

只要图是非循环的，您需要做的就是否定边权重并运行任何最短路径算法。

编辑：显然，您需要一个支持负权重的最短路径算法。此外，来自维基百科的算法似乎具有更好的时间复杂度，但我将把答案留在这里以供参考。

【讨论】：

我们是否将负权重设为负数？ :p
@Hellnar：不，如果您在原始图中有负权重，它们应该变成正数。 w' = -(w)

【解决方案3】：

维基百科有一个算法：http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem

看起来他们使用权重，但应该使用所有设置为 1 的权重。

【讨论】：

【解决方案4】：

可以通过关键路径法解决：
1. 求拓扑排序
2.找到关键路径
参见 [Horowitz 1995]，C++ 数据结构基础，计算机科学出版社，纽约。

无论如何，贪婪策略（例如 Dijkstra）都行不通：1。使用“max”而不是“min” 2. 将正权重转换为负权 3. 给出一个非常大的数字 M 并使用 M-w 作为权重。

【讨论】：