计算连分数结果的最佳算法

Question

连分数是一系列这样的除法：

depth   1    1+1/s

depth   2    1+1/(1+1/s)

depth   3    1+1/(1+1/(1+1/s))
  .     .      .           
  .     .      .      
  .     .      . 

深度是整数，但s 是浮点数。

对于这种具有大深度的分数，计算结果的最佳算法（性能方面）是什么？

Answer 1

提示：使用基本代数展开每个公式。你会看到一个模式出现。

我将向您展示最初的步骤，以便显而易见：

f(2,s) = 1+1/s = (s+1)/s
f(3,s) = 1+1/f(2,s) = 1+(s/(s+1)) = (1*(s+1) + s)/(s+1) = (2*s + 1) / (s + 1)
         /* You multiply the first "1" by denominator */
f(4,s) = 1+1/f(3,s) = 1+(s+1)/(2s+1) = (1*(2*s+1) + (s+1))/(2*s+1) = (3*s + 2) / (2*s + 1)
f(5,s) = 1+1/f(4,s) = 1+(2s+1)/(3s+2) = (1*(3*s+2) + (2s+1))/(3*s+2) = (5*s + 3) / (3*s + 2)

...

提示2：如果您没有看到上述明显的模式，最佳算法将涉及计算斐波那契数（因此您需要谷歌搜索最佳斐波那契#生成器）。

Answer 2

我想详细说明一下DVK's excellent answer。我将坚持使用他的符号f(d,s) 来表示深度的寻求值d。

如果您为大的d 计算值f(d,s)，您会注意到这些值随着d 的增加而收敛。

令 φ=f(∞,s)。也就是说，φ 是d 接近无穷大时的极限，是完全展开的连分数。请注意，φ 包含其自身的副本，因此我们可以写成 φ=1+1/φ。两边都乘以φ并重新排列，我们得到二次方程

φ² - φ - 1 = 0

可以解决得到

φ = (1 + √5)/2。

这是famous golden ratio。

随着 d 变大，您会发现 f(d,s) 非常接近 φ。

但是等等。还有更多！

正如 DVK 所指出的，f(d,s) 的公式涉及斐波那契数列中的项。特别是，它涉及斐波那契数列的连续项的比率。有一个closed form expression for the nth term of the sequence，即

(φⁿ-(1-φ)ⁿ)/√5.

由于 1-φ 小于 1，因此 (1-φ)ⁿ 会随着 n 变大而变小，因此第 n 个斐波那契项的良好近似值是 φ^{n/√5.回到 DVK 的公式，斐波那契数列中连续项的比率将趋向于 φn+1/φn = φ。}

因此，这是了解此问题中的连分数计算为 φ 的事实的第二种方法。

Answer 3

闻起来像尾递归(recursion(recursion(...)))。

（换句话说 - 循环它！）

Answer 4

我将从计算1/s 开始，我们将其称为a。

然后使用 for 循环，因为如果使用递归，在 C 中可能会遇到堆栈溢出。

由于这是作业，我不会给出太多代码，但是，如果你从一个简单的循环开始，从 1 开始，然后不断增加它，直到达到 4，然后你可以只循环 n 次。

由于您总是要对1/s 进行除法，而且除法成本很高，因此只需执行一次即可提高性能。

我希望，如果你想出办法，你实际上可以找到一种模式来帮助你进一步优化。

您可能会发现这样的文章：http://www.b-list.org/weblog/2006/nov/05/programming-tips-learn-optimization-strategies/，对您有所帮助。

我假设在性能方面你的意思是你希望它很快，不管使用的内存是多少，顺便说一句。

您可能会发现，如果您在每一步缓存您计算的值，您可以重复使用它们，而不是重新进行昂贵的计算。

我个人会手动做 4-5 步，写下每一步的方程式和结果，看看是否出现了任何规律。

更新：

GCC 增加了尾递归，但我从来没有注意到它，因为我试图在 C 中严格限制递归，这是出于习惯。但是这个答案对 gcc 基于优化级别所做的不同优化有一个很好的快速解释。

http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20100511111152AAVHx6s