用几个有限数字的总和构建一个特定的数字答案

【问题标题】：Build a specific number with summation of a few limited numbers用几个有限数字的总和构建一个特定的数字
【发布时间】：2014-05-21 19:47:45
【问题描述】：

我正在寻找一种可以帮助我解决这个问题的算法：

我需要创建一个系列，它将告诉我如何通过将数组中的数字与整数相乘来获得数字（输入）（可用于构建数字）。

让我们以数字“4”为例。将数组视为 [3,2]

所以算法应该给出一个输出为 0x3+2x2=4。

（我认为我的主要问题是当我创建输出时我看到 4 > 3 所以我的输出数组以 [1,..] 开头，这不能再工作了。）

【问题讨论】：

还有哪些其他限制？他们可以是消极的吗？它们必须是整数吗？
数组中只有正整数，只需要构建正整数
对于给定约束的一般情况，这是不可能的。考虑目标 3 和输入 [2, 4]。没有可以满足2x + 4y = 3 的系数。一般来说，如果输入数组的最大公分母除以目标数，则可能有一个解决方案，通过欧几里得算法计算将是微不足道的。更具体地说，如果输入数组中有两个互质整数，则所有整数都有一个有效解。

【解决方案1】：

这可以通过 linear integer programming

解决

给定一个数组（向量）c = (c1,c2,...,cn) 和一个数字 k，您正在寻找 x = (x1,x2,...,xn) 使得 c [dot] x = k，这是矩阵符号等价于 c1x1 + c2x2 + ... + cnxn = k。

优化问题是：

find x1,...,xn that maximizes:
     c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
subject to:
     c1x1 + c2x2 + ... + cnxn <= k
     x1 >= 0, x2>= 0, .... , xn >= 0

注意整数规划是NP-Hard，但是仍然有很好的算法可以解决它，如果你放弃 x1,x2,...,xn 应该是整数的要求，这个问题很容易解决。

【讨论】：

【解决方案2】：

假设系数必须是非负整数，一种算法是：

a*x + b*y = c
given c, x, y

for i = 0 to floor(c/x)
    if (i*x - c) % b == 0   // answer found
       b = (i*x - c) / b
       break;
next

【讨论】：