共同显着差异数

Question

给定两个数组 A 和 B。任务找出共同不同的数量（两个数组中元素的差异）。 示例：

A=[3,6,8]
B=[1,6,10]

so we get differenceSet for A
differenceSetA=[abs(3-6),abs(6-8),abs(8-3)]=[3,5,2]
similiarly
differenceSetB=[abs(1-6),abs(1-10),abs(6-10)]=[5,9,4]

Number of common elements=Intersection :{differenceSetA,differenceSetB}={5}
Answer= 1

我的方法 O(N^2)

int commonDifference(vector<int> A,vector<int> B){
    int n=A.size();
    int m=B.size();
    unordered_set<int> differenceSetA;
    unordered_set<int> differenceSetB;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            differenceSetA.insert(abs(A[i]-A[j]));
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(int j=i+1;j<m;j++){
            differenceSetB.insert(abs(B[i]-B[j]));
        }
    }
    int count=0;
    for(auto &it:differenceSetA){
        if(differenceSetB.find(it)!=differenceSetB.end()){
            count++;
        }
    }
    return count;
    
}

请提供优化 O(N log N) 方法的建议

Answer 1

如果 n 是输入数组的最大范围，则可以在 O(n logn) 中获得给定数组的所有差异的集合，如此 SO 帖子中所述：find all differences in a array

以下是对该方法的简要回顾，以及一些额外的实际实现细节：

1. 创建一个长度为2*n = 2*range = 2*(Vmax - Vmin + 1)的数组Posi，其中索引与输入元素匹配的元素设置为1，其他元素设置为0。这可以在O（m）中创建，其中@987654324 @ 是数组的大小。
   例如，给定大小为m 的输入数组[1,4,5]，我们创建一个数组[1,0,0,1,1]。

Initialisation: Posi[i] = 0 for all i (i = 0 to 2*n)
Posi[A[i] - Vmin] = 1 (i = 0 to m)

1. 计算数组Posi[]的自相关函数。这可以通过三个子步骤经典地执行

2.1 计算Posi[]array的FFT（大小2*n）：Y[] = FFT(Posi)

2.2 计算结果的平方幅值：Y2[k] = Y[k] * conj([Y[k])

2.3 计算结果的逆FFTDiff[] = IFFT(Y2[])`

这里有几个细节值得一提：

• 之所以选择大小2*n，而不是大小n，如果是d 是有效差异，那么-d 也是有效差异。与负差异对应的结果可在位置i >= n 获得
• 如果您发现使用大小为 2 的幂的 FFT 更容易执行，则可以将大小 2*n 替换为值 n2k = 2^k，替换为 n2k >= 2*n

1. 非空差异对应数组Diff[]中的非空值：

`d` is a difference if `Diff[d] > 0`

另一个重要的细节是使用了经典的 FFT（浮点计算），然后您会遇到很少的错误。考虑到这一点，重要的是用实部的整数舍入值替换 IFFT 输出Diff[]。

所有这些都只涉及一个数组。由于您要计算共同差异的数量，因此您必须：

• 计算Diff_A[] 和Diff_B[] 的数组A 和B，然后：

count = 0;
if (Diff_A[d] != 0) and (Diff_B[d] != 0) then count++;

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一点奖励

为了避免对上述帖子的抄袭，这里是关于在FFT的帮助下获取一组差异的方法的附加说明。

输入数组A = {3, 6, 8}在数学上可以用以下z变换表示：

 A(z) = z^3 + z^6 + z^8 
 

那么差分数组对应的z变换等于多项式积：

D(z) = A(z) * A(z*) = (z^3 + z^6 + z^8) (z^(-3) + z^(-6) + z^(-8)) 
= z^(-5) + z^(-3) + z^(-2) + 3 + z^2 + z^3 + z^5 

然后，我们可以注意到A(z) 等于序列[0 0 0 1 0 0 1 0 1] 的大小为 N 的 FFT：

z = exp (-i * 2 PI/ N), with i = sqrt(-1)

请注意，这里我们考虑的是 C 中的经典 FFT，即复数域。

当然可以在 Galois 域中执行计算，然后不会出现舍入错误，例如为大量数字实现“经典”乘法（z = 10）。这在这里似乎过于熟练了。