找到具有相同权重的最大边数的生成树

Question

这就是问题所在。

给出一个带权无向连通图G。权重是恒定的。任务是提出一种算法，该算法将找到满足这两个条件（按优先级排序）的 G 的生成树的总权重：

• 生成树必须有具有相同权重的最大边数（实际重复的权重值无关）；
• 总的生成树权重应该最小化。这意味着，例如，权重为 120 的生成树 T1 最多有 4 个具有相同权重的边（并且这四个边的权重分别为15) 应该优于权重为 140 的生成树 T2，该生成树 T2 最多有 4 个具有相同权重的边（并且这四个边的权重均为 8）。

我已经坚持了很长一段时间了。我已经为图实现了Boruvka的MST搜索算法，现在不知道是不是应该在找到MST后进行任何操作，还是自己修改MST-search算法比较好。

欢迎提出任何建议！

Answer 1

这可以在O(m^2) 中天真地完成，而在O(mn) 中无需太多努力。似乎有可能做得更快，也许像O(m log^2(n)) 甚至O(m log(n)) 之类的，只需稍加工作即可。

基本思想是这样的。对于任何权重k，令MST(k) 是一棵生成树，它包含权重k 的最大可能边数，否则总权重最小。可能有多棵这样的树，但它们的总重量都相同，所以选择哪一棵并不重要。 MST(k) 可以通过使用任何 MST 算法并将权重 k 的所有边视为具有权重 -Infinity 来找到。

对于某些k，此问题的解决方案将是MST(k)。因此，天真的解决方案是生成所有MST(k)，然后选择具有最大相同边权重和最小总权重的那个。使用 Kruskal 算法，您可以在 O(m^2) 中执行此操作，因为您只需对边进行一次排序。

这可以改进为O(mn)，方法是首先使用原始权重找到MST，然后对于每个k，通过将权重k 的每个边的权重减小到@，将树修改为MST(k) 987654341@。更新 MST 以降低边权重是 O(n) 操作，因为您只需要在相应的 fundamental cycle 中找到最大权重边。

要使用这种方法比O(mn) 做得更好，您必须对原始 MST 进行预处理，以便可以更快地执行这些边缘权重减少。似乎heavy path decomposition 之类的东西在这里应该可以工作，但还有一些细节需要解决。