计算应添加的项数以获得所需的系列总和

Question

我有一个类似系列的几何级数：

S = x1 + x2 + .....    xn (mod m)
where xi = (x(i-1))*r (mod m) for i>1 and x1=1  , 2<=m<10^9, 1<=r<m, 1<=S<m, 1<=n<p

这里m是一个素数，r,m,S是已知的。

Property of r : If we form a set of r (mod m), r^2 (mod m), ..., r^(m-1) (mod m) then it will contain all the numbers form 1 to m-1.

我想找到n 的值（如果可能的话）。我不能在这里应用几何级数 (GP) 公式，所以我做了一个替代算法，假设这些幂将使循环长度远小于n-1。我想找到一种模式，使系列重复自身，但这种循环模式只发生在某些r's 中，所以我没有这样做。当然，将循环设置到m 的天真方法不会起作用，因为它太大了，因此在终止之前需要很长时间。

我发现了一个类似的问题here。 但是在这个链接中，r 上没有属性可以使算法更快。我将此处给出的所有答案都应用到了我的代码中，但没有一个可以根据需要降低其复杂性。

我知道我必须以某种方式使用r 的属性来制定有效的算法，但我不知道如何。

那么我们可以找到任何其他模式，或者我们可以利用这个属性来获得最有效的算法吗？ （基本上我不想遍历m。）所以请给我一个找到n的有效算法的想法。

Answer 1

我相信我已经找到了解决方案。请注意，r 是由r 的属性给出的primitive root modulo m。

考虑几何和S = 1 + r + r^2 + ... + r^n。然后我们把S写成S = (r^n - 1) / (r - 1)。

好吧，我们想以 m 为模求解这个方程，因为我们已经给出了 S 和 r。所以我们需要解决：

   (r^n - 1) / (r - 1) = S (mod m)
=> r^n - 1 = S * (r - 1) (mod m)
=> r^n = S * (r - 1) + 1 (mod m)

我们现在遇到了Discrete Logarithm Problem。

使用Baby-step Giant-step 算法，我们可以在O(sqrt(m)) 中解决这个问题，如果m 最多为10^9，这是可行的。下面是我在 Python 3 中的实现，answer(r, m, S) 给出了想要的答案：

from math import sqrt, ceil

def invmod(r, p):
    """
    solves x = r^(-1) modulo p
    Note: p must be prime
    """
    return pow(r, p-2, p)


def discrete_log(a, r, p):
    """
    solves r^x = a (mod m) for x
    using the baby-step giant-step algorithm:
    https://math.berkeley.edu/~sagrawal/su14_math55/notes_shank.pdf
    Note: r must be a primitive root modulo p
    """


    m = int(ceil(sqrt(p)))

    # compute 1, r, r^2, ..., r^(m-1) modulo p
    pows = {pow(r, mp, p): mp for mp in range(m)}

    # compute r^(-m) modulo p
    y = pow(invmod(r, p), m, p)

    # compute a, ay, ay^2, ..., until we find a number
    # already in pows
    for q in range(m):
        z = (a * pow(y, q, p)) % p
        if z in pows:
            return pows[z] + (q * m)

    raise Exception("discrete logarithm not found")


def answer(r, p, S):
    """
    if S = 1 + r + r^2 + ... + r^n (mod p),
    then answer(r, p, S) = n
    """
    a = (S * (r-1) + 1) % p
    return discrete_log(a , r, p)