最近我看到了数论问题，其中我需要找到数对 (x,y) 的数量，以给出 x^k + y^k = n 的解，其中给出了 k 和 n。我提出的唯一解决方案是暴力破解所有可能的 x,y 对并检查它们是否等于 n。但我需要为大 n 和 k 做这件事，1
【问题讨论】：
x，找到 n - x^k 并确定它是否是 k 次方。 （当然，您需要特例 k=1，k=2 也有数论技巧。）
x 和 y 应该积极吗？
标签： algorithm math number-theory
一种可能的方法是使用a hash table。
首先，计算结果小于 n 的所有值 xk。将每个这样的值添加到哈希表中，映射 xk -> x（而不是相反，稍后会清楚为什么）。
然后，从哈希集中遍历键 xk，并检查补码 i.e. n - xk 是否也是哈希集中的一个键。
如果 n - xk 也是一个键，那么哈希表会将它映射到值 y 中，这样 n - xk = y k，我们确定了一个有效的 (x, y) 对。
否则，如果 n - xk 不是哈希表的键，则 x 为一个元素时无解。
对上述基本理念进行了改进。例如，如果找到了一个好对 (x, y)，那么这意味着 (y, x) 也是一个好对。使用它，无法测试大于 n/2 的 x 值，因为这会导致已经枚举的对。
编辑
正如 Dmitry Bychenko 在 cmets 部分中指出的那样，在某些情况下这种方法会占用大量内存，因此不太可行。
这个问题在 k = 2 时最为明显，因为随着 k 的增加，xk
对于k = 2，可以不使用哈希表来解决这个问题，而是直接检查n - x2 是否是一个完美的正方形。要检查一个数字是否是完全平方，可以应用 sqrt 函数并检查结果是否为整数值。
另一种方法，任何 k 的空间复杂度为 O(1)，是使用二进制搜索来检查 n - xk 是否是整数的 k 次方。这在 O(n1/k * log(n))
类中具有时间复杂度【讨论】：
n <= 10^18 和 k == 2 那么我们必须计算多达 十亿 个项目...