如何找到所有方法来获得一个整数 n 作为 m 个整数的总和（无序）？答案

【问题标题】：How to find all ways to obtain an integer n as the sum of m integers (without order)?如何找到所有方法来获得一个整数 n 作为 m 个整数的总和（无序）？
【发布时间】：2017-01-24 19:34:24
【问题描述】：

我正在寻找一种算法，它可以找到将整数 n 表示为 m（非负）整数之和的所有方法。我对 m=6 和 n⩽20 特别感兴趣。找到所有可能性的最快方法是什么（使用计算机，而不是手动）。如果可能的话，我只想看看六个整数的组合，顺序不相关（即 [1, 2, 0, 0, 0, 0] 和 [2, 1, 0, 0, 0, 0 ] 计为 1 个组合）。

最简单的方法是简单地尝试所有小于或等于 20 的 6 个整数的排列，然后只将总和为 20 的排列添加到我们的结果中（如果我们不想查看排序，则删除双精度数） .然而，这似乎需要很长时间，因为要检查 20^6 种可能性需要相当长的时间。

解决这个问题的更有效方法是什么？

【问题讨论】：

提示：如果您按排序顺序生成重复，则可以轻松避免重复。如果你有 m 个数字要填写，它们总和为 n，并且数字按升序排列，那么第一个数字的可能性是什么？

标签： algorithm number-theory

【解决方案1】：

您可以通过以单调递增的顺序生成数字来避免重复（每个数字等于或大于前一个数字）。

对于给定的count（例如 6），您可以递归地定义问题，方法是生成第一个数字的所有可能值，然后递归地生成所有 count - 1 数字列表，总和为原始总和减去第一个数字，第一个数字是列表中剩余数字的最小值。

因为数字需要增加，所以您不能“过早达到峰值” - 您可以通过将总和除以计数来计算最大值（因为所有剩余值都必须等于或大于此值） .

这是一个简单的Java实现：

public static void outputSums(String start, int sum, int count, int min)
{
    // if there is just one value, it's just the sum:
    if(count == 1)
    {
        System.out.println(start + " " + sum);
        return;
    }

    int max = sum / count;  // calculate maximum value
    for(int i = min; i <= max; i++)
    {
        outputSums(start + " " + i,  // append each number to the list
            sum - i,  // recursively find numbers that sum to the remainder
            count - 1,   // with a count of one less
            i);   // equal to or greater to this one (i.e. increasing order)
    }
}

start 包含您目前输出的部分列表。当你第一次调用函数时它会是空的。

Demo

【讨论】：

【解决方案2】：

与前面的方法相反，是从大到小计算。

这是一个 Python 实现，它使用迭代器，以便以编程方式使用。

def partition (count, total, maximum = None) :
    if maximum is None or total < maximum:
        maximum = total
    if 0 == count:
        yield []
    else:
        while total <= count * maximum:
            for part in partition(count - 1, total - maximum, maximum):
                yield part + [maximum]
            maximum = maximum - 1

下面是一个如何以编程方式使用它来打印输出的示例：

for part in partition(6, 10):
    print(part)

【讨论】：