ACM ICPC-数论答案

【问题标题】：ACM ICPC -Number TheoryACM ICPC-数论
【发布时间】：2012-04-07 18:30:36
【问题描述】：

我在练习 ACM ICPC 过去的问题http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1030

我无法解决这个问题，并且完全不知道如何在 3 秒的时间限制内以有效的方式完成它。我认为这个问题是基于数论的，但不知道该怎么做。谢谢！

【问题讨论】：

没有人想通过链接了解您的问题；请在此处总结问题描述。
好吧，Gauss-Jordan 的整数版本似乎很合适。也可以添加一些动态编程习语。
我认为N = 1000的高斯肯定会超过3秒。
这可能会有所帮助：online-judge.uva.es/board/viewtopic.php?f=9&t=2295

【解决方案1】：

虽然转化成向量问题，但是三维向量和这么多变量有点棘手，所以我们可以先降维，把原方程改成： A[1]* (s[1][2]-s[1][1], s[1][3]-s[1][1]) + a[2]* (s[2][2]- s[2][1], s[2][3]- s[2][1]) +.....+a[n]* (s[n][2]- s[n][1],..+a[n]*) = (())。二维向量被认为是平面坐标系中从原点开始的向量。如果只有两个向量，因为a[i]是一个非负数，所以只有两个向量时，角度一定是PI。如果两个相邻向量之间的夹角不大于PI，则N个向量可以满足上式。代码不长，但需要一个数学思维T_T 这是正确的代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1000+5;
const double PI=acos(-1);
int main()
{
    int n;
    double A[maxn];
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        int s1,s2,s3;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&s1,&s2,&s3);
            A[i]=atan2(s2-s1,s3-s1);
        }
        sort(A,A+n);
        double tmp=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
            tmp=max(tmp,A[i]-A[i-1]);
        tmp=max(tmp,A[0]-A[n-1]+2*PI);
        if(tmp<=PI)
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}

【讨论】：

【解决方案2】：

所以我相信：

(a1,b1,c1), (a2,b2,c2) ... (an,bn,cn)

你需要决定是否存在非负系数：

X = (x1,x2,...,xn)

这样

x1*a1 + x2*a2 + ... + xn*an == 
x1*b1 + x2*b2 + ... + xn*bn == 
x1*c1 + x2*c2 + ... + xn*cn

只需要一点线性代数。

提示：尝试构造一个 n == 4 的输入，这样所有 4 个 xi 都必须为正才能解决问题（仅用 3 个无法解决）。这可能吗？

【讨论】：

这并不完全正确：您不必使用所有 a1, ..., an - 任何子集都可以。
@IVlad：在这种情况下，xi 是 0
哦，对了。能详细说明一下解决过程吗？对于 n ，我没有看到一种明显的快速处理方法。
@Andrew Tomazos - Fatho:: 我不明白一件事 - 如果 x1>0 && x2>0 ...&& Xn>0 回答是，如果 (x1, x2,x3..xn) 是否为负数？
@Jack：嗯……一个有效的答案意味着(x1,x2,...,xn) >= (0,0,...,0)。当且仅当存在有效答案时才回答是。