一个数的所有除数的除数之和

Question

以下方法的很好解释是here。由于格式问题，我无法在这里写。

// C++ 程序求所有除数之和 自然数的除数。

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 

// Returns sum of divisors of all the divisors 
// of n 
int sumDivisorsOfDivisors(int n) 
{ 
    // Calculating powers of prime factors and 
    // storing them in a map mp[]. 
    map<int, int> mp; 
    for (int j=2; j<=sqrt(n); j++) 
    { 
        int count = 0; 
        while (n%j == 0) 
        { 
            n /= j; 
            count++; 
        } 

        if (count) 
            mp[j] = count; 
    } 

    // If n is a prime number 
    if (n != 1) 
        mp[n] = 1; 

    // For each prime factor, calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) 
    // and adding it to answer. 
    int ans = 1; 
    for (auto it : mp) 
    { 
        int pw = 1; 
        int sum = 0; 

        for (int i=it.second+1; i>=1; i--) 
        { 
            sum += (i*pw); 
            pw *= it.first; 
        } 
        ans *= sum; 
    } 

    return ans; 
} 

// Driven Program 
int main() 
{ 
    int n = 10; 
    cout << sumDivisorsOfDivisors(n); 
    return 0; 
} 

我没有得到这个循环中发生的事情，而不是添加到他们正在乘以总和，他们如何计算(p^(a+1)-1)/(p-1) 和这个到 ans。任何人都可以帮助我了解这个循环背后的直觉。

我从here得到这个

for (auto it : mp) 
{ 
    int pw = 1; 
    int sum = 0; 

    for (int i=it.second+1; i>=1; i--) 
    { 
        sum += (i*pw); 
        pw *= it.first; 
    } 
    ans *= sum; 
}

Answer 1

首先考虑这个说法：

(p₁⁰ + p₁¹ +…+ p₁^k₁) * (p₂⁰ + p ₂¹ +…+ p₂^k₂)

现在，任何 p^a 的除数，对于 p 作为素数，是 p⁰, p¹,……, pa，除数之和为：

((p₁⁰) + (p₁⁰ + p_{1 sub>¹) + .... + (p1⁰ + p1^{1 + ...+ pk1)) * ((p20) + ( p20 + p21) + (p2 0 + p21 + p22) + ... (p20 + p21 + p22 + .. + p2k2))}}

你可以认为上面的语句等同于下面的语句：

[[p₁⁰ * (k₁ + 1) + p₁¹ * k₁ + p₁² * (k₁ - 1 ) + ... . + (p₁^k₁ * 1) ]] * [[p₂^{0 * (k₂ + 1) + p₂1 * (k₂) + p22 * (k₂ - 1 ) + .... + (p₂k2 * 1) ]] 在您在帖子中编写的代码中，最后一条语句已实现。}

例如，如果您考虑 n = 54 = 3³ * 2¹，
ans 以这种格式计算：

ans = (2⁰ * 2 + 2¹ * 1) * (3⁰ * 4 + 3^{1 * 3 + 32 * 2 + 33 *1) = 4 * 58 = 232}