假设我想在 1 到 N 的范围内找到 n 个不同的数字，使它们的总和等于 N。例如
n = 3, N = 10: the numbers will be (2, 3, 5);
n = 4, N = 10: the numbers will be (1, 2, 3, 4).
虽然找出这个问题的所有可能组合需要指数级的时间，但我正在寻找“最小”的组合，即最大的数字是最小的。例如，
在n = 4, and N = 12的情况下，(6, 3, 2, 1) and (5, 4, 2, 1)都可以解决，但我只对(5, 4, 2, 1)感兴趣。
对于这个问题，会不会有时间复杂度更好的算法？我听说过对数合并，但不确定如何在此处应用。
如果需要指定问题的任何细节，请告诉我。并且总是，我们将非常感谢任何帮助。
【问题讨论】：
2, 3, 5
标签： algorithm
这个问题有一个简单的贪心算法。
首先，有n个元素按升序排列，为了使它们不同，每个元素都应该比它的前一个元素至少大一个。
所以，我们有
1, 2, 3 ... , n
现在，所有n 数字的总和是n*(n + 1)/2
剩下的是left = N - n*(n + 1)/2
为了使最后一个元素尽可能小，我们需要将left的差异分散到所有数字
所以，我们有
1 + left/n, 2 + left/n, ..., n + left/n
如果left % n != 0，我们只需要在最后一个left % n元素上加1。
注意：如果N < n*(n + 1)/2，则无解
例子：
所以，对于 n = 4 和 N = 12
First, we start with
1, 2, 3, 4
left = 12 - (4*5/2) = 2
So, now we have
1 + (2/4), 2 + (2/4), 3 + (2/4), 4 + (2/4) = 1, 2, 3, 4
As left % n = 2
Finally, we have
1, 2, 3 + 1, 4 + 1 = 1, 2, 4, 5
同样，对于 n = 3，N = 10
First, we start with
1, 2, 3
left = 10 - (3*4/2) = 4
So, now we have
1 + (4/3), 2 + (4/3), 3 + (4/3) = 2, 3, 4
As left % n = 1
Finally, we have
2, 3, 4 + 1 = 2, 3, 5
伪代码，时间复杂度O(n)
int[]result = new int[n];
int left = N - n*(n + 1)/2;
for(int i = 0; i < n; i++){
result[i] = i + 1 + left/n;
if(i >= n - (left % n)){//Add extra one for last left % n elements
result[i]++;
}
}
return result;
【讨论】：
假设您有一个函数 f(n, N, sum) - 它会返回结果，该结果将向您展示从 1 到 N 范围内的 n 元素总和到 sum 的可能性。
至少现在您只需调用f(n, N, N) 即可确定解决方案是否存在。
假设对于给定的n、N 和sum，问题p(n,N,sum) 有一个解决方案，而x 是结果中最小的最大数。那么问题p(n',N',sum')和n'=n-1、N'=x-1、sum'=sum-x应该也有解决办法。问题p(0,N,0)总是有解决办法的，这是归纳的基础。
函数f(n, N, sum) 实际上会返回x 范围内1 到N 的最小数字，它可以是解决方案的一部分（否则它应该返回-1 或指示没有解决方案的东西）。我们可以尝试从1 到N 的每个号码作为x 并检查f(n - 1, x - 1, sum - x) 是否有解决方案。
这里的关键是使用 memoization 以避免多次计算相同的函数。只记得找到x。记住每个可能的输入组合最多需要O(n * N * N) 空间和相同的O(n * N * N) 时间来计算。此外，如果sum>N*(N+1)/2 我们可能会立即删除此类呼叫，则将没有解决方案。这是多项式时间/空间复杂度，优于指数。
【讨论】：
让我们试着解决这个问题，假设我们在 [1, N] 之间有 n 个不同的数字。什么是最小可能的总和，它将是前 n 个自然数的总和，即
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
可能的最大数量是
(N-n+1) + (N-n+2) + (N-n+3) + ... + (N-n+n)
请注意，最小值和最大值之间的所有总和都可以使用 n 个数字进行计算
现在检查该值是否可行。假设我们取数字 1 到 n。当前总和 S 等于
S = 1 + 2 + ... + n
如果我将 x 添加到每个元素，它将变成
S = 1 + 2 + ... + n + x*n <= N
如果我们选择最大可能的 x，那么总和可以通过将 1 个元素添加到从最大的所有数字开始直到达到所需的总和（即最多 n-1 个数字）。这会给我一个有效的答案。
所以如果答案是可能的，那就是
【讨论】：
这几乎可以立即计算出来。答案总是看起来像是以N/n 为中心的一系列数字，或者是一系列具有基本相同中心的数字，中间某处有 1 的间隙。
所以计算那个中间值，然后计算你是否需要以及在哪里需要那个间隙。然后你就完成了。
如果n 是奇数，那么中间是N/n（假设是整数除法），并且向右移动了足够的 1 来计算余数。因此，例如，如果N 是 10000，n 是 17，那么中间是 588，您的起始范围是 588 ± (17-1)/2，即 580-596。但余数是 4，所以将 4 移过来，你的答案将是 580-592、594-597。
如果n 是从半数开始的中间。所以中间是(N-n/2)/n + 0.5。因此，例如，如果N 是 10000，n 是 18，那么中间是 555.5，您的起始范围是 555.5 ± (18-1)/2，即 547-564。但是那个除法的余数是 1，所以我们得到的答案是 547-563, 565。
【讨论】：