双精度浮点数如何存储和计算？

Question

我真的很好奇双精度浮点数是如何存储的。

这些是我到目前为止想出来的。

1. 它们需要 64 位内存
2. 由三部分组成
   • 符号位（1 位长）
   • 指数（11 位长）
   • 小数（53 位，假设第一位始终为 1，因此只存储 52 位，除非所有 52 位均为 0。然后假设前导位为 0）

但是我不明白什么是指数、指数偏差以及wikipedia page.中的所有这些公式

谁能解释一下所有这些东西是什么，它们是如何工作的，并最终逐步计算到实数？

Answer 1

在页面下方查看公式：

除了上述例外，整个双精度数的描述如下：

(-1)^sign * 2^(exponent - bias) * 1.mantissa

该公式意味着对于非 NAN、非 INF、非零和非非正规数（我将忽略），您取尾数中的位并在顶部添加一个隐含的 1 位。这使得尾数为 53 位，范围为 1.0 ... 1.111111...11（二进制）。要获得实际值，请将尾数乘以 2 乘以指数的幂减去偏差 (1023)，然后根据符号位对结果取反或不取反。数字 1.0 的无偏指数为零（即 1.0 = 1.0 * 2^0），其有偏指数为 1023（偏差只是添加到指数中）。所以，1.0 将是符号 = 1，指数 = 1023，尾数 = 0（记住隐藏的尾数位）。

将它们全部放在十六进制中，值将是 0x3FF000000000 == 1.0。

Answer 2

• 符号：如果为负，则为 1，如果为正，则为 0
• 分数：二进制模式下的工程浮动表示。
• 指数：是指数e 使得fraction * 2^e 等于我想要表示的数字。
• 偏差是一个必须减去指数才能获得正确表示的数字。双精度为 1023，单精度为 127。

一个例子（在单精度下我写起来更舒服=）： 如果我不得不说唱 -0.75 我会： - 二进制表示将是-11 * 2^-2 = -1.1 * 2^-1

• 签名 = 1
• 分数 = 1 + .1000....
• 有偏指数：-1 + 127 = 126 -> 01111110

所以我们有-0.75 = 1 01111110 10000000000000000000000

对于总和，你必须对齐指数，然后你可以对小数部分求和。

对于乘法，你必须

• 对指数求和并减去偏差
• 将小数部分相乘
• 对结果进行四舍五入
• 看符号（如果符号相同，则符号 = 0，否则符号 = 1）

Answer 3

    int main()
    {
         double num = 5643.0662;
         int sign = 0;
         int exponent = 1035;
         int exponent_bias = 1023;
         float mantissa = 0.0662;

          double x = pow(-1,sign) * pow(2,(exponent - exponent_bias)) * (1+mantissa);
         int y = num - x;

       cout << "\nValue of x is : " << x << endl;
       cout << "\nValue of y is : " << y << endl;

      return 0;
  }