生成所有具有 n 个顶点的 DAG

Question

我想生成具有 n 个顶点的所有 DAG，直到同构 - 即，没有重复的未标记 DAG。是的，我知道其中有很多 很多，但我最关心的是仍然可以处理的小数字（例如，n 小于 10）。

添加所有可能的边组合等显而易见的方法有两个主要缺点：

1. 这样的图形比唯一图形生成更多的重复（同构），尤其是随着n 的增长。
2. 需要检查每个生成的图表是否包含循环。

Answer 1

您可以从 simple complete graph Kn 开始，其中 n 是图形的顺序，然后枚举其所有 spanning trees。 The algorithm 是修改后的 DFS，因为它使用回溯并在探索所有可能的不同组合时避免 bridges（以继续生成连接的树）。

根据Cayley's formula，有n^(n-2)（其中^ 表示提升到幂）在Kn 上生成树，因此您最坏的情况可能看起来像9^7=4782969 并包含重复项。

这也让人想起Motif Detection 中的“子问题”，其中some algorithms（或this one）的目标是生成all simple connected graphs (not limited to trees) of order n (motifs)，然后生成图的分解到这 n 个主题中。所以，这些文献可能对你也有一些用处。

希望这会有所帮助。