我的 RSA 算法只适用于非常短的单词

Question

我的 RSA 算法适用于像“cat”这样的 3 个字母单词，但是一旦单词变长，我就会收到一条错误消息：异常：decipher2.hs:(37,1)-(62,19): Non-函数 numToLet 中的详尽模式

我的程序按照以下步骤运行

用于加密

• 将一串字母转换为一串数字，其中每个字母都分配给一个特定的数字。
• 将一串数字组合成一个更大的数字。
• 使用适当的 p 和 q 值，计算 n 并选择与 n 互质的适当数 e（因为这是一个内部过程，保持 p 和 q 的秘密并不重要，但可以做到）
• 执行 RSA 算法以生成“密码”

用于解密

• 使用 p 和 q (其中 φ(n) = (p-1) * (q-1) ) 计算总 φ(n)
• 将欧几里得算法写入代码中，以求两个数的最大公约数。
• 将反向替换部分写入代码，使其可交换地形成扩展欧几里得算法。
• 计算私钥。
• 包括某种存储私钥的选项，这样就不需要每次都执行此功能（以提高速度）。
• 应执行 RSA 加密的解密算法。
• 应将结果拆分为一串数字（与在加密过程的第 2 阶段组合的过程相反）。
• 应将数字字符串转换为字母字符串（使用与加密过程相同的值）。

我选择不包括计算密钥部分，因为它是一个单独的程序并且必须是正确的（因为能够破译短单词）。我尝试使用较小的 p 和 q 值，但这也不起作用，有人知道为什么较长的单词不起作用（即使对于较小的素数）和/或我该如何解决？

我的加密代码是：

import Data.List
letToNum c'' = (let (Just n) = elemIndex c'' ['a'..'z'] in n) + 10

combine = foldl addDigit 0
    where addDigit num i' = (10 ^ (floor $ log (fromIntegral i') / log 10 + 1))*num + i'

firstTwo xs = toInteger (combine (map letToNum xs))

p' = 2^2048 - 1942289
q' = 2^2048 - 2^1056 + 2^736 - 2^320 + 2^128 + 1
n' = p' * q'
e' = 7

newtype ModN = ModN (Integer, Integer) deriving (Eq, Show)
instance Num ModN where
  ModN (x, m) + ModN (y, m') | m == m' = ModN ((x + y) `mod` m, m)
                             | otherwise = undefined
  ModN (x, m) * ModN (y, m') | m == m' = ModN ((x * y) `mod` m, m)
                             | otherwise = undefined
  negate (ModN (x, m)) = ModN ((- x) `mod` m, m)
  abs _ = undefined
  signum _ = undefined
  fromInteger _ = undefined

modPow :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
modPow _ 0 m = 1 `mod` m
modPow a b m = c
  where a' = ModN (a, m)
        ModN (c, _) = a' ^ b

encipherA z' = modPow z' e' n'

encipher xs = encipherA (firstTwo xs)

我的解密代码是：

p' = 2^2048 - 1942289
q' = 2^2048 - 2^1056 + 2^736 - 2^320 + 2^128 + 1
n' = p' * q'
d'=149198411630450358098821815816660626082852035578197682912033354754850558281651065264118115990713936905841443816348466119712510491169399086751890869693052182563708139506244285477194512876340531187775438573122278032339474119913958963667476383477798088213829701243686243438754864105731229873495425397653296705562025639940130672903361904637280085880562426594784029436599468688448179303703337724326069153629191476697420768451884440453280134491448395404958914592441919126201747433884753502442027069825305163272842897505994155682996130741544296475635538035696205346055652365820232813677363525296188331517668300986037331017823989462119054758685224752255850280255541024098528388784743634162996954090230161430468033874779937253936100340449079832503240200984659315256173082971785802328581652375418902448324739292188909509903808503871246982928186837296358844444348158079557757543904495890483033995844854839625810784987612815774450940850973031117459144355531047129541648317845165848539683500066541165782574432790936862217277817101197569391139502130923768985262346549685855947859864917650782062626099395684514986479824104485607000960030713840667632064934158997031779846656288570984548383771118345091911988849410656041321592285731293207858515766711

newtype ModN = ModN (Integer, Integer) deriving (Eq, Show)
instance Num ModN where
  ModN (x, m) + ModN (y, m') | m == m' = ModN ((x + y) `mod` m, m)
                             | otherwise = undefined
  ModN (x, m) * ModN (y, m') | m == m' = ModN ((x * y) `mod` m, m)
                             | otherwise = undefined
  negate (ModN (x, m)) = ModN ((- x) `mod` m, m)
  abs _ = undefined
  signum _ = undefined
  fromInteger _ = undefined

modPow :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
modPow _ 0 m = 1 `mod` m
modPow a b m = c
  where a' = ModN (a, m)
        ModN (c, _) = a' ^ b

decipherA c' = modPow c' d' n'

numToLet "10" = "a"  
numToLet "11" = "b"  
numToLet "12" = "c"
numToLet "13" = "d"
numToLet "14" = "e"
numToLet "15" = "f"
numToLet "16" = "g"
numToLet "17" = "h"
numToLet "18" = "i"
numToLet "19" = "j"
numToLet "20" = "k" 
numToLet "21" = "l"
numToLet "22" = "m"
numToLet "23" = "n"
numToLet "24" = "o"
numToLet "25" = "p"
numToLet "26" = "q"
numToLet "27" = "r"
numToLet "28" = "s"
numToLet "29" = "t"
numToLet "30" = "u"
numToLet "31" = "v"
numToLet "32" = "w"
numToLet "33" = "x"
numToLet "34" = "y"
numToLet "35" = "z"
output xs = putStrLn $ concat (map numToLet xs)

partition :: Int -> [a] -> [[a]]
partition _ [] = []
partition n xs = (take n xs) : (partition n (drop n xs))

decipher j' = map numToLet (partition 2 (show (decipherA j')))

感谢您的帮助，我真的很感激。

Answer 1

由于 RSA 算法输出的数字小于模数 n，因此您显然不能加密超过 n 的不同消息（消息 0 到 n - 1）。

*RSA> decipherA (encipherA (n' - 1)) == n' - 1
True
*RSA> decipherA (encipherA n') == n'
False

对于长度超过特定长度的字符串，您将通过该阈值。

对此的典型解决方案是仅使用 RSA 来加密随机生成的会话密钥。然后使用此会话密钥对消息进行对称加密（例如，使用AES）。对方可以使用 RSA 重构会话密钥并解密消息。

编辑：我刚刚看到，除了 RSA 算法本身的这种不可避免的限制之外，您在某个地方在字符串编码中引入了另一个错误。您的编码器和解码器不适合：

*RSA> let encode = firstTwo
*RSA> let decode x = map numToLet (partition 2 (show x))
*RSA> decode (encode "catcatcatcat")
["x","g","f","c","*** Exception: RSA.hs:(41,1)-(66,19): Non-exhaustive patterns in function numToLet

问题是整数溢出：combine 的类型为 [Int] -> Int，但 Int 只能保存最大为 2^31 - 1 的值，这对应于编码中的 4 个字符。您可以使用Integer 来解决这个问题：

letToNum :: Char -> Integer
letToNum c'' = (let (Just n) = fmap toInteger (elemIndex c'' ['a'..'z']) in n) + 10

combine :: [Integer] -> Integer
combine = foldl addDigit 0
    where addDigit num i' = 100*num + i'

firstTwo xs = combine (map letToNum xs)

如您所见，它有助于添加类型签名。我还删除了log 表达式，我不知道它是什么意思，但我想这不是不必要的，甚至是错误的......