如何加快素数检查器的速度？

Question

我有一个函数 FIsPrime，它接受 int64 并根据给定的 int64 是否为素数返回布尔值 True 或 False。

function FIsPrime(P:int64):boolean;

  var
  I:int64;
  RSqrtP:Extended;

  begin
    I:= 3;
    RSqrtP := sqrt(P) + 1;

    while ((P mod I) <> 0) AND (I <= RSqrtP) AND ((P mod 2) <> 0) do
      I := I + 2;

    if I < RSqrtP then
      FIsPrime := False
    else
      FIsPrime := True;
  end;

但是，虽然这可行，但速度很慢。检查从 10⁶ 到 5×10⁶ 的数字需要 4 秒。

我正在按 10¹² 和 10¹⁵ 的顺序测试数字 - 整个代码选择一个随机数并 × 10^{12 sup> 得到一个大的随机数。}

这个随机数通过FIsPrime 函数运行并递增1直到它是素数：

function FFirstPrimeAbove(P:int64):int64;

  var
    BIsPrime: boolean;

  begin
    if P mod 2 = 0 then
      inc(P);

    repeat
      BIsPrime := FIsPrime(P);
      P := P + 2;
    until (BIsPrime);

    FFirstPrimeAbove := P;
  end;

这可能需要一段时间 - 10¹² 大约需要 6 秒，10¹⁵ 大约需要 7 秒。

虽然 14 秒不算多，但很烦人。有没有办法通过更有效的算法来减少这个时间？

我对 Pascal 还很陌生，但已经编程多年 - 所以任何更有效的算法都会很有用。

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我查看了AKS Test，但有很多行话要克服——“多项式同余关系”、“多项式的泛化”和“二项式系数”等等。

任何关于我如何在 Delphi 中实现某些东西的基本提示都将不胜感激。

Answer 1

将 RSqrtP 更改为 Int64 很可能会提高性能。我没有测试它，但我希望将浮点值与 int64 值进行比较不会是最快的。

将((P mod 2) <> 0) 排除在外。

另外，如果您不介意应用程序的初始化时间更长，您可以加载 2 和 X 之间的所有素数的列表，并在进入 I+2 例程之前从它们开始。你不需要尝试除以非素数，因为这已经被素数处理了（即任何可以被 4 整除的东西都将被 2 整除，任何可以被 49 整除的东西也将被7等）

我不久前发布了an article 以使用素数为例进行优化。也许您会在那里看到一些可以帮助您的更多信息。

Answer 2

我怀疑提高速度最有效的简单方法是创建一个已知素数表。

可能有太多的素数来存储所有适合 64 位整数。但是您可以存储少于sqrt(high(int64)) 的所有素数。然后，当您循环抛出可能的除数时，您只能检查素数。这应该会带来非常显着的好处。

所以，算法大致如下：

• 用所有小于sqrt(high(int64)) 的素数填充一个数组。这应该是预先计算好的。
• 要测试值 N 是否为素数，首先要找到它的根，sqrt(N)。
• 然后尝试将素数除以待测值，直到达到大于sqrt(N) 的素数。
• 如果你走到那一步，N 是素数。否则，如果你找到一个素数除数，它就不是素数。