这是一个好的素数检查解决方案吗？

Question

我已经编写了这段代码来检查一个数字是否是素数（对于高达 10^9+7 的数字）

这是一个好方法吗？？
这将是什么时间复杂度？

我所做的是我创建了一个unordered_set，它将质数存储到sqrt(n)。
在检查一个数是否为素数时，首先检查它是否小于表中的最大数。
如果小于则在表中搜索，因此在这种情况下复杂度应为O(1)。
如果更多，则对包含素数的数字集的数字进行可分性测试。

#include<iostream>
#include<set>
#include<math.h>
#include<unordered_set>
#define sqrt10e9 31623

using namespace std;

unordered_set<long long> primeSet = { 2, 3 }; //used for fast lookups

void genrate_prime_set(long range) //this generates prime number upto sqrt(10^9+7)
{
    bool flag;
    set<long long> tempPrimeSet = { 2, 3 }; //a temporay set is used for genration
    set<long long>::iterator j;
    for (int i = 3; i <= range; i = i + 2)
    {
        //cout << i << " ";
        flag = true;
        for (j = tempPrimeSet.begin(); *j * *j <= i; ++j)
        {
            if (i % (*j) == 0)
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag)
        {
            primeSet.insert(i);
            tempPrimeSet.insert(i);
        }
    }
}

bool is_prime(long long i,unordered_set<long long> primeSet)
{
    bool flag = true;
    if(i <= sqrt10e9) //if number exist in the lookup table
        return primeSet.count(i);    

    //if it doesn't iterate through the table  

    for (unordered_set<long long>::iterator j = primeSet.begin(); j != primeSet.end(); ++j)
    {
        if (*j * *j <= i && i % (*j) == 0)
        {
            flag = false;
            break;
        }
    }
    return flag;
}
int main()
{
    //long long testCases, a, b, kiwiCount;
    bool primeFlag = true;
    //unordered_set<int> primeNum;
    genrate_prime_set(sqrt10e9);
    cout << primeSet.size()<<"\n";
    cout << is_prime(9999991,primeSet);
    return 0;
}

Answer 1

这并没有让我觉得这是一种特别有效的方式来完成手头的工作。

虽然最终可能不会产生太大的影响，但生成所有素数达到某个特定限制的有效方法显然是使用筛子——Eratosthenes 的筛子既简单又快速。有一些修改可以更快，但对于您正在处理的小尺寸，它们可能不值得。

这些通常以比您当前使用的格式更有效的格式生成输出。特别是，您通常只为每个可能的素数（即每个奇数）分配一个位，如果该数字是合数，则将其归零，如果它是素数，则将其归零（当然，如果您愿意，可以反转含义)。

由于从 3 到 31623 的每个奇数只需要一个位，因此这只需要大约 16 K 位，或大约 2K 字节——按照现代标准，这确实是微不足道的内存量（尤其是：小到足以容纳 L1很容易缓存）。

由于位是按顺序存储的，因此计算和测试直到要测试的数字的平方根的因子也很简单，而不是针对表中的所有数字（包括大于平方的数字）进行测试您正在测试的数字的根，这显然是浪费时间）。这也优化了对内存的访问，以防其中一些不在缓存中（即，您可以按顺序访问所有数据，从而使硬件预取器的工作尽可能轻松）。

如果您想进一步优化，我会考虑只使用筛子找到所有最高 10⁹+7 的素数，然后查找输入。这是否是一场胜利将（很大程度上）取决于您可以预期收到的查询数量。快速检查表明，埃拉托色尼筛法的简单实现可以在大约 17 秒内找到高达 10⁹ 的所有素数。之后，每个查询（当然）本质上是瞬时的（即，单个内存读取的成本）。这确实需要大约 120 兆字节的内存来存储筛子的结果，这曾经是一个主要考虑因素，但（在相当有限的系统上除外）通常不再需要了。

Answer 2

非常简短的回答：从“Miller-Rabin”这个词开始研究这个主题

简短的回答是否定的：

• 寻找一个数的因数是检查素数的不好方法
• 彻底搜索素数是寻找因子的糟糕方法
  • 特别是如果您搜索每个素数，而不仅仅是小于或等于数字平方根的素数
• 对它们中的每一个进行素数测试是生成素数列表的糟糕方法

另外，如果确实需要作为参数，您应该通过 reference 获取primeSet 而不是复制。

_{注意：测试小素数以查看它们是否能整除一个数是素数测试的有用第一步，但通常应仅用于最小素数，然后再切换到更好的素数方法}

Answer 3

不，这不是确定数字是否为素数的好方法。这是一个简单素性测试的伪代码，足以满足您范围内的数字；我把它留给你翻译成C++：

function isPrime(n)
    d := 2
    while d * d <= n
        if n % d == 0
            return False
        d := d + 1
    return True

这是通过尝试每个可能的除数直到输入数字的平方根n;如果没有找到除数，则输入数不能是合数，形式为 n = p × q，因为其中之一两个除数 p 或 q 必须小于 n 的平方根，而另一个大于 n 的平方根.

有更好的方法来确定素数；例如，在最初检查数字是否为偶数（因此仅当 n = 2 时为素数）之后，只需要测试奇数的潜在除数，将所需的工作量减半。如果您有一个直到 n 的平方根的素数列表，您可以使用该列表作为试验除数并加快处理速度。对于更大的n，还有其他技术。

但这应该足以让您入门。当您准备好更多时，请回到这里并提出更多问题。

Answer 4

我只能建议一种在 Java 中使用库函数来检查数字素数的方法。至于其他问题，我没有答案。

如果这个 BigInteger 可能是素数，则 java.math.BigInteger.isProbablePrime(int certainty) 返回 true，如果它肯定是复合的，则返回 false。如果确定性 ≤ 0，则返回 true。您应该尝试在您的代码中使用它。所以尝试用Java重写它

参数

确定性 - 调用者愿意容忍的不确定性的度量：如果调用返回 true，则此 BigInteger 为素数的概率超过 (1 - 1/2^certainty)。该方法的执行时间与该参数的值成正比。

返回值

如果这个 BigInteger 可能是素数，则此方法返回 true，如果它肯定是合数，则返回 false。

示例

下面的例子展示了 math.BigInteger.isProbablePrime() 方法的使用

import java.math.*;

public class BigIntegerDemo {

    public static void main(String[] args) {
        // create 3 BigInteger objects
    BigInteger bi1, bi2, bi3;

    // create 3 Boolean objects
    Boolean b1, b2, b3;

    // assign values to bi1, bi2
    bi1 = new BigInteger("7");
    bi2 = new BigInteger("9");

    // perform isProbablePrime on bi1, bi2
    b1 = bi1.isProbablePrime(1);
    b2 = bi2.isProbablePrime(1);
    b3 = bi2.isProbablePrime(-1);

    String str1 = bi1+ " is prime with certainity 1 is " +b1;
    String str2 = bi2+ " is prime with certainity 1 is " +b2;
    String str3 = bi2+ " is prime with certainity -1 is " +b3;

    // print b1, b2, b3 values
    System.out.println( str1 );
    System.out.println( str2 );
    System.out.println( str3 );
    }
}

输出

7 is prime with certainity 1 is true
9 is prime with certainity 1 is false
9 is prime with certainity -1 is true