素数算法效率

Question

我有一个关于素数算法的问题。

为什么在下面的伪代码中 i 每次迭代都增加 6 而不是增加 2？

function is_prime(n)
if n ≤ 1
    return false
else if n ≤ 3
    return true
else if n mod 2 = 0 or n mod 3 = 0
    return false
let i ← 5
while i * i ≤ n
    if n mod i = 0 or n mod (i + 2) = 0
        return false
    i ← i + 6
return true

谢谢！

Answer 1

如果它增加 2，它将测试几乎所有东西两次，这没有任何意义。所以我假设你的意思是：不测试每个奇数怎么能逃脱？

这是因为每个大于 3 的素数 p 都是 6n±1 的形式。证明： 考虑余数 r = p mod 6。显然 r 必须是奇数。还要注意 r 不能是 3，因为这样 p 可以被 3 整除，所以它不是素数。这只剩下可能性 1 和 5，它们分别对应于 p 的形式为 6n+1 或形式为 6n-1。

效果是它避免了测试3的倍数。除以3的倍数是多余的，因为我们已经知道n不是3的倍数，所以它也不能是3的倍数.

Answer 2

循环体中的赋值是i <- i + 6，而不是i <- i + 2。在if 语句中，表达式i + 2 只是变成了一个新值。该表达式中没有赋值运算符。

Answer 3

该算法基于可以使用公式6k ± 1 预测素数这一事实，而这不适用于2 and 3。

例如

(6 * 1) - 1 = 5

(6 * 2) - 1 = 11

(6 * 3) - 1 = 17

名单还在继续。