这种找到给定数字的最小因子的方法如何工作？

Question

我最近遇到了一个返回给定数字的最小因子的方法：

public static int findFactor(int n) 
{
    int i = 1;

    int j = n - 1;

    int p = j; // invariant: p = i * j

    while(p != n && i < j) 
    {
        i++; 
        p += j;

        while(p > n) 
        {
            j--; 
            p -= i;
        }
    }

    return p == n ? i : n;
}

在检查了该方法之后，我已经能够（很可能是错误地）确定了一些变量分别代表的数量：

n = the int that is subject to factorization for 
    the purposes of determining its smallest factor

i = the next potential factor of n to be tested

j = the smallest integer which i can be multiplied by to yield a value >= n

问题是我不知道p 代表什么数量。内部循环似乎将(p+=j) - n 视为 i 的潜在倍数，但鉴于我相信 j 所代表的，我不明白这怎么可能是真的 对于所有i，或者外循环如何解释执行的内循环的“额外”迭代 在后者因p < n而终止之前

假设我已正确确定n、i 和j 代表什么，那么p 代表什么数量？

如果我的任何决定不正确，每个数量代表什么？

Answer 1

p 代表“产品”。如前所述，不变量是p == i*j；并且算法尝试i 和j 的不同组合，直到乘积（p）等于n。如果它永远不会（while 循环失败），你会得到p != n，因此返回n（n 是素数）。

在外部while 循环体的末尾，j 是最大的整数，i 可以乘以得到一个≤n 的值。

该算法避免显式除法，并尝试限制为每个i 检查的j 值的数量。在外循环的开头，p==i*j 刚好小于n。随着i 逐渐增大，j 需要逐渐缩小。在每个外部循环中，i 增加（并且p 被更正以匹配不变量）。然后内部循环减小j（并纠正p）直到p 再次≤n。由于i*j 在下一个外循环开始时仅小于n，增加i 会使乘积再次大于n，并重复该过程。

Answer 2

该算法尝试1 和n / i 之间的所有除数（继续过去n / i 没有用，因为相应的商已经尝试过了）。

所以外部循环实际上执行了

i= 1
while i * (n / i) != n && i < n / i)
{
  i++;
}

它以一种巧妙的方式做到了这一点，避免了分歧。正如注释所说，保持不变的p = i * j；更准确地说，p 是不超过n 的i 的最大倍数，这实际上建立了j = n / i。

当i 增加时，需要进行一些调整：i 变为 i + 1 使 p = i * j 变为 (i + 1) * j = p + j，并且p 可能变得太大。通过根据需要将 j 递减多次 (j--, p-= i) 来解决此问题。