查找数字优化的所有除数答案

【问题标题】：Finding all divisors of a number optimization查找数字优化的所有除数
【发布时间】：2012-09-14 09:43:17
【问题描述】：

我编写了以下函数，它找到给定自然数的所有除数并将它们作为列表返回：

def FindAllDivisors(x):
    divList = []
    y = 1
    while y <= math.sqrt(x):
        if x % y == 0:
            divList.append(y)
            divList.append(int(x / y))
        y += 1
    return divList

除了输入一个 18 位数字时它真的很慢之外，它工作得非常好。您对我如何加快速度有什么建议吗？

更新：

我有以下方法来检查基于费马小定理的素数：

def CheckIfProbablyPrime(x):
    return (2 << x - 2) % x == 1

这种方法在检查单个数字时非常有效，但是我不确定是否应该使用它来编译所有素数到某个边界。

【问题讨论】：

您是否使用CheckIfPrime 来查看是否可以跳过某个 x 的除法？你应该小心这个，因为你可能会得到误报：CheckIfPrime 过滤了大多数数字，但一些复合仍然会产生 True!
@BenRuijl 你能举个例子吗，非常感谢！
由于Fermat pseudoprimes，您的CheckIfPrime 功能无法正常工作。例如，CheckIfPrime(341) 为 True，但 341 = 11*31。如果CheckIfPrime 为 False，那么这个数肯定是合数，但反之则不成立。 [啊，对不起，错过了@BenRuijl 早先的相同效果的评论。不过，我会留下这个例子。] 但是，如果你只将它用作“CheckIfProbablyPrime”，它仍然很有用。
@DSM 非常感谢，我没有考虑到它不是双向的（费马定理）。我将其更改为 CheckIfProbablyPrime。我会采用你的方法。因此，为了使其具有确定性，我还应该检查所有先前产生的素数。
继续我的最后一句话：如果你使用这个“CheckIfProbablyPrime”函数来列出候选除数，那么其中有几个伪素数可能不是问题。如果您以递增顺序测试可除性并删除您找到的所有因数，则通过构造任何除以原始数字的伪素数都将已删除其因数，因此不会除以余数。

标签： python math mathematical-optimization

【解决方案1】：

您可以通过计算质因数分解找到一个数的所有除数。每个除数必须是分解中素数的组合。

如果你有一个素数列表，这是一种简单的分解方法：

def factorize(n, primes):
    factors = []
    for p in primes:
        if p*p > n: break
        i = 0
        while n % p == 0:
            n //= p
            i+=1
        if i > 0:
            factors.append((p, i));
    if n > 1: factors.append((n, 1))

    return factors

这叫做审判分工。有更有效的方法可以做到这一点。有关概述，请参阅 here。

计算除数现在非常简单：

def divisors(factors):
    div = [1]
    for (p, r) in factors:
        div = [d * p**e for d in div for e in range(r + 1)]
    return div

计算所有除数的效率取决于找到素数的算法（小概述here）和分解算法。对于非常大的数字，后者总是很慢，对此您无能为力。

【讨论】：

我的第一个想法也是关于素数除数，但我不确定它们的搜索是否比直接将 N 除以所有数字更快 - 我们仍然会筛选直到 sqrt( N)，然后为每个素数组合花费 O(1)（我们仍然需要遍历它）。
我对我的问题进行了小修改。因此，如果我使用我当前的素性测试，这是否足够有效，或者我应该改变我的测试吗？
@Bob，可以预先计算素数列表，即使必须检查多个数字，也只需执行一次。因式分解的优点是只检查素数。对于一个数字，你是对的，这并不重要。
这是一个很好的解决方案。我在我的问题中使用它。然而，该算法的一个错误是它会陷入无限循环。修复方法是在 divisors 方法中创建 div 列表的副本并在其上运行内部嵌套循环。 P.S - 我在 Java 而不是 Python 中运行了这个问题，我的经验就是基于此。
@Pawan，这可能是因为您在 div 的 for 循环中更新了 div 列表本身，然后您得到了一个无限循环。如果您使用列表推导式，则 div 仅在创建整个新 div 列表后更新。

【解决方案2】：

我建议将math.sqrt(x) 的结果存储在一个单独的变量中，然后对照它检查y。否则while的每一步都会重新计算，math.sqrt绝对不是轻量级的操作。

【讨论】：

还可以尝试将结果附加到字符串而不是列表。
这是代码优化，很好，但您将拥有相同的“大 O”。 Ben Ruijl 解决方案确实降低了算法的复杂性，从而减少了大数字所花费的时间。

【解决方案3】：

我会做一个素因子分解，然后根据该结果计算所有除数。

【讨论】：

【解决方案4】：

我不知道是否会对性能造成很大影响，但我很确定强制转换为 int 是不必要的。至少在 Python 2.7 中，int x / int y 返回一个 int。

【讨论】：

在 Python 3 中，它没有。在那里你可以使用//进行楼层划分。