使用 Clojure 生成钟形曲线数据

Question

如何使用 Clojure 生成值的正态分布？实际上不一定是真正的正态分布，而是可以偏斜的分布。

作为一个例子，我想创建一个函数，输出一个生成的（伪随机）数字，用于空气中氧气的体积浓度。可能的最低输出应为 19.5%，最大可能为 23.5%，而模态值应为 20.95%。该函数应该适用于这种“偏态正态”分布，其中尾部的下部具有 1.45% 的范围，而尾部的较高部分具有 2.55% 的范围。

Answer 1

您可以使用 Incanter 的 sample-normal 生成（非偏斜）正态分布数字。例如，这将生成 20 个均值为 2，标准差为 5 的正态分布值：

(ns foo 
  (:use [incanter.stats]))

(sample-normal 20 :mean 2 :sd 5)

您还可以使用 Java 的 Random 或 Java 中更好的随机数生成器，例如 Sean Luke 的 MersenneTwisterFast。例如，要使用MersenneTwisterFast，请下载 java 源文件并将其放入 e.g.在 Leiningen 项目树中的 src/java 中。然后加 像:java-source-paths ["src/java"] 这样的行到project.clj。在 Clojure 源文件中：

(ns foo
  (:import [ec.util MersenneTwisterFast]))

(defn make-rng
  "Make an instance of a MersenneTwisterFast RNG and flush out its initial
  minimal lack of entropy."
  [seed]
  (let [rng (MersenneTwisterFast. seed)]
    (dotimes [_ 1500] (.nextInt rng)) ; needed because of a quirk of Mersenne Twisters
    rng))

(def my-rng (make-rng 42))

;; Now call this as many times as you want to generate standard Normal data:
(.nextGaussian my-rng)

使用 Java 的 Random 是类似的，无需下载并移动到 src/java 等，但我认为您不需要用 1500 .nextInts 刷新 Java 的 Random（尽管您的随机数可能不像 Mersenne Twister 中的随机数那样随机）。

正如this answer at stats.SE 所解释的，您可以通过将上述值乘以所需的标准差，然后加上所需的均值，从标准正态分布中得到任意正态分布。

Alan Thompson 的回答解释了如何从正态分布生成截断分布。

This answer at stats.SE 提供有关从正态分布生成偏态正态分布的建议。

编辑 (2021)：SciCloj 社区项目here 列出了一些值得探索的其他库。我没有使用过这些库中的大多数，所以我无法提供更详细的建议，但似乎值得一提。

Answer 2

如果您可以绘制描述概率密度函数的函数y=f(x)，那么有一种简单的方法可以获得您想要的任何分布。

对于高斯，这个函数是 f(x)=exp( -(x-m)^2 / (2 * s^2) ) / sqrt(2pi s^2) （见https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function)

其中 m 是 x 的平均值，s 是 x 的标准差。

对于 m=0 和 s=1 的“正常”高斯，在 +/-3 之外有“几乎没有”的值（作为练习留给读者的确切数量）。给定这个近似值，获得高斯分布的最简单方法是在区间 [-3..3] 中生成一个 x 浮点值并在区间 [0..1] 中生成一个 y 值。然后按上述方法计算 f(x)：exp(...) 等。然后，IFF y

虽然这种技术会丢弃一些（或许多）值，但它非常简单且防弹。

您可以对“偏斜高斯”近似值使用类似的方法，只需按照您的描述定义您自己的 f(x)。对于一个非常简单的近似值，您甚至可以使用从 (19.5,0) 到 (20.95,1) 到 (23.5,0) 的直线近似值，其中 f(x) 形成三角形。在这种情况下，在区间 [19.5..23.5] 中绘制 x，并计算 f(x) 左右两半的直线公式。像以前一样在 [0..1] 中绘制 y。

我刚刚发现*对此进行了更详细的描述：https://en.wikipedia.org/wiki/Rejection_sampling

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更新：

如果您只想要高斯随机变量（或其他常见分布），您可以使用Apache Commons Math library。

Answer 3

此实现受到 Alan Thompson 回答中的两个想法的启发：“拒绝采样”和使用三角形，而不是钟形曲线形状，即缩放。

(defn generator [modal-val low-val high-val]
  (fn []
    (let [gen-val (fn []
                    (let [diff-range (- high-val low-val)
                          picked-in-range (rand diff-range)
                          perhaps-res (+ low-val picked-in-range)
                          ;; partial distance left or right, that will be negative if to left
                          modal-delta (- perhaps-res modal-val)
                          extremity (if (neg? modal-delta) low-val high-val)
                          ;; full distance left or right, that will be negative if to left
                          total-dist (- extremity modal-val)
                          closeness-to-modal (- 1 (/ modal-delta total-dist))
                          ]
                      (when (<= (rand) closeness-to-modal)
                        perhaps-res)))]
      (first (drop-while nil? (repeatedly gen-val)))))) 

可以这样使用：

((generator 20.95 19.5 23.5))