查找所有 Coprime 子集，直到一个数字 N

Question

假设我有数字 1 到 N，我想根据以下标准将它们分成子集：

1. 每个数字只能出现在 1 个子集中。
2. 子集的元素必须互质。
3. 最小化子集的总数。

我的方法是通过使用埃拉托色尼筛法找到直到 N 的所有素数，然后将它们相应地划分为子集。例如，对于 N=5，我可以有两个子集至少为 {1,2,3,5} 和 {4}。但我不确定如何在子集中分配元素，以便每个子集具有互质元素。 这是我的逐步方法：

1. 设置 1：{所有素数最多为 N}
2. 设置 2：{2^k,3^k,5^k...p^k} 其中p 是一个素数并且 p^kk
3. 其余元素

问题是如何让步骤 3 中的元素在子集中互质 有人可以就如何实现它以及我的逻辑缺陷提出更好的方法吗？

Answer 1

这似乎是一个棘手的问题。没有两个偶数可以在同一个子集中，所以最小子集的个数是 floor(n/2)

如果 n 是偶数，您可以轻松实现与子集 {2i+1, 2i+2} 的绑定。对于 n 奇数，您也可以这样做，但将 {n-2, n-1, n} 放在最后一个子集中。请注意，相邻的数字总是互质的，当 n 为奇数时，n,n-2 互质。