找到小于 n 的最大素数 [关闭]答案

【问题标题】：Find a largest prime number less than n [closed]找到小于 n 的最大素数 [关闭]
【发布时间】：2013-05-04 15:03:43
【问题描述】：

如何找到小于 n 的最大素数，其中 n ≤ 10¹⁸ ？请帮我找到一个有效的算法。

for(j=n;j>=2;j--) {
  if(j%2 == 1) {
    double m = double(j);
    double a = (m-1)/6.0;
    double b = (m-5)/6.0;
    if( a-(int)a == 0 || b-(int)b == 0 ) {
      printf("%llu\n",j);
      break;
    }
  }
}

我使用了这种方法，但是对于 n>10^10 的求解效率不高；

如何优化这个..

编辑： 解决方案：对每个 j 使用素性检验。

Miller Rabin，Fermat's Test。

【问题讨论】：

我们坚持人们在这里提出编程问题。做一些研究，想出一个算法，然后如果你在某些方面遇到困难，请回到这里。
我对此做了很多研究......使用了复杂度为 O(nlog(n)) 的算法，但现在想要更高效..
您可能已经找到了这个，但它仍然提供了一些参考：stackoverflow.com/questions/6741947/…
en.wikipedia.org/wiki/Primality_test 。从 n 开始连续使用该页面中的一些测试，直到第一次成功。向下舍入为奇数，并逐步为 (-2)。
使用浮点是一个很好的指标，表明您在这里有错误的想法。使用uint64_t（或等效项）。

标签： algorithm primes

【解决方案1】：

我认为这个问题不应该这么快就被驳回，因为效率对于这个范围内的数字来说并不那么容易确定。首先，鉴于平均素数差距为ln(p)，从给定的(n)向下工作是有意义的。即ln(10^18) ~ 41.44)，因此您预计41 的迭代次数平均低于(n)。例如，测试：(n), (n - 2), (n - 4), ...

鉴于这个平均差距，下一步是决定您是否希望使用朴素测试 - 检查素数 <= floor(sqrt(n)) 的可分性。使用n <= (10^18)，您需要针对素数<= (10^9) 进行测试。在这个范围内有~ 50 million 素数。如果您愿意预先计算并将这些值制成表格（所有这些值都适合 32 位），那么您可以对 64 位值进行合理的测试n <= 10^18。在这种情况下，一个 200MB 的素数表是可接受的方法吗？ 20年前，可能还不是。今天，这不是问题。

将素数表与筛分和/或Pocklington's test 结合使用可能会提高效率。或者，如果内存受到更多限制，可以使用Miller-Rabin test 的确定性变体，其基数为：2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022(SPRP set)。大多数复合材料通过 SPRP-2 测试立即失败。

关键是 - 您需要在算法复杂度（理论上和实现难度方面）与空间/时间权衡之间做出决定。

【讨论】：