素数之间的二元关系答案

【问题标题】：binary relation among prime numbers素数之间的二元关系
【发布时间】：2012-07-05 08:48:32
【问题描述】：

我们有什么理论可以说明二进制系统中素数之间的关系吗？我的意思是，在十进制系统中，我们有一个模式说明“一个被 1 除且本身是素数的数字”。

这是我小时候在学校学到的。但是现代计算是在位上执行的，从某种意义上说，它们是 1 和 0。但是我们根据我们学校的知识来计算素数。当数字很小时，它工作得很好。但是计算整数中最大素数的问题，这个逻辑没有意义。

因此，如果存在任何理论（可能已经存在）以二进制表示的素数之间的关系，那么我们可以节省大量的计算能力。例如，从素数的二进制表示开始，更改或添加位会产生下一个素数，从而节省大量计算能力。

这可能没有意义。但这是我昨晚的想法。如果我错了或根本没有意义，请纠正我。

【问题讨论】：

"... 大于一的整数 除以仅 1 和它本身，是素数。"我很确定所有数字都可以被一个和它们自己整除，无论选择的域如何。
@paxdiablo 零本身不能整除。但是，我只是个混蛋；v)
@Potatoswatter：不，没关系。适合我成为一个迂腐的 PITA :-)
唯一的保证是除 2 之外的所有素数都将其最低有效位设置为 1。
@Potatoswatter a 在这种情况下可以被 b 整除（环代数）意味着有一个数 c 使得 a = bc。所以 0 是可以被自己整除的。除法的结果未定义并不重要，因为您可以为 c 使用任何数字。优点之一是整除顺序是自反的，以 0 作为顶部元素。

标签： binary primes series

【解决方案1】：

二进制只是将数字写为 2 的幂的和。在数学意义上，它与十进制没有显着不同。所以不，不会有任何二进制定理在十进制中没有一些平行。

在十进制中，以偶数或 5 结尾的数字不能是质数，除了 2 和 5。在二进制中，以 0 结尾的数字不能是质数，除了 10（即 2）。

编辑：请参阅我几年前写的this answer，了解如何使用二进制算术优化而不是高级数学快速生成素数的示例。这只是一个sieve of Erastosthenes，但几千年前的数学，甚至早于十进制系统，仍然适用于 SSE 向量化。

【讨论】：

如果问这样的问题，系列中的下一个，10,11,101,111,1011,1101,10001，只能找到将它们转换回十进制并找到模式关系？如果不要求以人类的方式做，这背后的计算逻辑或程序可能是什么？
@facebook-1800001831 数字系统没有区别。任何相关算法都不太依赖计算的基数，相同的步骤由人或计算机执行。
计算机以二进制形式进行，仅将其转换为十进制显示。
那么@starblue 有什么意义？你是说我的假设存在吗？ @Potatoswatter，如果在这种情况下，它不是以 1 和 0 表示数据的点。该系统是为数字形式的数据表示而发明的。因此，为了使计算机在我们输入的任何输入中都变得不稳定，它应该将计算世界从数字转变为二进制。
我的观点是糟糕的或简单的程序会使计算机难以计算给定的输入。如果我们采取其他方式，那是有道理的。我的意思是，非常可计算的指令使 cpu 工作变得容易。一定有办法！..一定有办法！..

【解决方案2】：

Mersenne primes 是有趣的素数，其二进制表示不包括任何0（因此只有1s）

【讨论】：

【解决方案3】：

如果您想减少 CPU 周期来确定数字的素数，您应该查看Factorization using the eliptical curve method。我不知道它是如何工作的，但它非常快。

但是，我同意所有的 cmets。操作二进制表示中的位对于确定一个数是否为素数没有任何好处。

您还可以使用

在Emacs 中运行素数分解

M-x 计算
大量投入
k f

【讨论】：

如果你想在蛮力方法中减少测试的数量，你只使用质数进行测试（如果 7 不是一个因素，那么 21 或 49 也不会是因素），最终测试将是数字的平方根。当然，使用所有奇数可能比测试试数是否为素数更容易。

【解决方案4】：

我不知道重新开始这个话题是否有意义，但我找不到类似的方法。所以我坚持让我们开箱即用地思考。所以我开始在素数的二进制表示中寻找模式。我发现的第一件事是关于非素数的前导 0（2 除外）接下来我发现低于 100 的素数以 1 和其他一些有趣的模式开始和结束。但似乎没有一个一致的模式或所有素数的一组模式。我想如果有的话，其他计算机科学家会发现的。如果存在这些模式以找到更大的素数，这将使解密更快并且某些身份验证更不安全，那么应用这些模式会更容易。

是否有人也对二进制素数进行研究，还是只是我想太多了？

【讨论】：

我发现这篇“论文”很有趣：mae.ufl.edu/~uhk/BINARY-OF-PRIME-NUMBERS.pdf

【解决方案5】：

素数的二进制表示的一个有趣的方面是有一些模式，以底部的这段代码为例。每个 True（奇数）后跟一个以相同数字结尾的数字。例如，这个素数 13，是一个奇数二进制数，后跟 3 个以 0 结尾的数字，然后是下一个素数（真）。所有二进制路径都遵循这种模式。只有素数在二进制表示中是奇数，并且跟随它们到下一个真的数字之间的所有 END 都在同一数字中，直到下一个素数，它总是偶数，直到下一个奇数素数！另一个有趣的模式。所有 5 后面总是跟以 0 结尾的数字！所有 3 后面都是以 8 结尾的数字！等等！ 7 后跟以 2 结尾的数字。等等。我确信还有更多的模式，但这很有趣，表明二进制数存在某种底层模式，代表所有素数。

它变得更加有趣。当偶数路径结束时，它的下一个数字总是以相同的数字结尾，以奇数结尾。例如，当以 0 结尾的数字路径结束时，下一个素数以 1 结尾。对于所有数字都是如此，它们都有一对与之相连！当以 8 结尾的数字运行结束时，下一个数字总是以 9 结尾！等等

13 1103823372545 True
14 17661173960720 False
15 282578783371520 False
16 4521260533944320 False
17 72340168543109121 True


ss = ""
for x in range(3,100):
   if isprime(x):
      ss += "1"
   else:
      ss += "0"
   print(x, int(ss,16), isprime(x))

3 1 True
4 16 False
5 257 True
6 4112 False
7 65793 True
8 1052688 False
9 16843008 False
10 269488128 False
11 4311810049 True
12 68988960784 False
13 1103823372545 True
14 17661173960720 False
15 282578783371520 False
16 4521260533944320 False
17 72340168543109121 True
18 1157442696689745936 False
19 18519083147035934977 True
20 296305330352574959632 False
21 4740885285641199354112 False
22 75854164570259189665792 False
23 1213666633124147034652673 True
24 19418666129986352554442768 False
25 310698658079781640871084288 False
26 4971178529276506253937348608 False
27 79538856468424100062997577728 False
28 1272621703494785601007961243648 False
29 20361947255916569616127379898369 True
30 325791156094665113858038078373904 False
31 5212658497514641821728609253982465 True
32 83402535960234269147657748063719440 False
33 1334440575363748306362523969019511040 False
34 21351049205819972901800383504312176640 False
35 341616787293119566428806136068994826240 False
36 5465868596689913062860898177103917219840 False
37 87453897547038609005774370833662675517441 True
38 1399262360752617744092389933338602808279056 False
39 22388197772041883905478238933417644932464896 False
40 358211164352670142487651822934682318919438336 False
41 5731378629642722279802429166954917102711013377 True
42 91702058074283556476838866671278673643376214032 False
43 1467232929188536903629421866740458778294019424513 True
44 23475726867016590458070749867847340452704310792208 False
45 375611629872265447329131997885557447243268972675328 False
46 6009786077956247157266111966168919155892303562805248 False
47 96156577247299954516257791458702706494276857004883969 True
48 1538505235956799272260124663339243303908429712078143504 False
49 24616083775308788356161994613427892862534875393250296064 False
50 393857340404940613698591913814846285800558006292004737024 False
51 6301717446479049819177470621037540572808928100672075792384 False
52 100827479143664797106839529936600649164942849610753212678144 False
53 1613239666298636753709432478985610386639085593772051402850305 True
54 25811834660778188059350919663769766186225369500352822445604880 False
55 412989354572451008949614714620316258979605912005645159129678080 False
56 6607829673159216143193835433925060143673694592090322546074849280 False
57 105725274770547458291101366942800962298779113473445160737197588480 False
58 1691604396328759332657621871084815396780465815575122571795161415680 False
59 27065670341260149322521949937357046348487453049201961148722582650881 True
60 433050725460162389160351198997712741575799248787231378379561322414096 False
61 6928811607362598226565619183963403865212787980595702054072981158625537 True
62 110860985717801571625049906943414461843404607689531232865167698538008592 False
63 1773775771484825146000798511094631389494473723032499725842683176608137472 False
64 28380412343757202336012776177514102231911579568519995613482930825730199552 False
65 454086597500115237376204418840225635710585273096319929815726893211683192832 False
66 7265385560001843798019270701443610171369364369541118877051630291386931085312 False
67 116246168960029500768308331223097762741909829912657902032826084662190897364993 True
68 1859938703360472012292933299569564203870557278602526432525217354595054357839888 False
69 29759019253767552196686932793113027261928916457640422920403477673520869725438208 False
70 476144308060280835146990924689808436190862663322246766726455642776333915607011328 False
71 7618308928964493362351854795036934979053802613155948267623290284421342649712181249 True
72 121892942863431893797629676720590959664860841810495172281972644550741482395394899984 False
73 1950287085814910300762074827529455354637773468967922756511562312811863718326318399745 True
74 31204593373038564812193197240471285674204375503486764104184997004989819493221094395920 False
75 499273493968617036995091155847540570787270008055788225666959952079837111891537510334720 False
76 7988375903497872591921458493560649132596320128892611610671359233277393790264600165355520 False
77 127814014455965961470743335896970386121541122062281785770741747732438300644233602645688320 False
78 2045024231295455383531893374351526177944657952996508572331867963719012810307737642331013120 False
79 32720387700727286136510293989624418847114527247944137157309887419504204964923802277296209921 True
80 523526203211636578184164703833990701553832435967106194516958198712067279438780836436739358736 False
81 8376419251386185250946635261343851224861318975473699112271331179393076471020493382987829739776 False
82 134022708022178964015146164181501619597781103607579185796341298870289223536327894127805275836416 False
83 2144363328354863424242338626904025913564497657721266972741460781924627576581246306044884413382657 True
84 34309813253677814787877418030464414617031962523540271563863372510794041225299940896718150614122512 False
85 548957012058845036606038688487430633872511400376644345021813960172704659604799054347490409825960192 False
86 8783312192941520585696619015798890141960182406026309520349023362763274553676784869559846557215363072 False
87 140532995087064329371145904252782242271362918496420952325584373804212392858828557912957544915445809152 False
88 2248527921393029269938334468044515876341806695942735237209349980867398285741256926607320718647132946432 False
89 35976446742288468319013351488712254021468907135083763795349599693878372571860110825717131498354127142913 True
90 575623147876615493104213623819396064343502514161340220725593595102053961149761773211474103973666034286608 False
91 9209970366025847889667417981110337029496040226581443531609497521632863378396188371383585663578656548585728 False
92 147359525856413566234678687697765392471936643625303096505751960346125814054339013942137370617258504777371648 False
93 2357752413702617059754859003164246279550986298004849544092031365538013024869424223074197929876136076437946368 False
94 37724038619241872956077744050627940472815780768077592705472501848608208397910787569187166878018177223007141888 False
95 603584617907869967297243904810047047565052492289241483287560029577731334366572601106994670048290835568114270208 False
96 9657353886525919476755902476960752761040839876627863732600960473243701349865161617711914720772653369089828323328 False
97 154517662184414711628094439631372044176653438026045819721615367571899221597842585883390635532362453905437253173249 True
98 2472282594950635386049511034101952706826455008416733115545845881150387545565481374134250168517799262486996050771984 False
99 39556521519210166176792176545631243309223280134667729848733534098406200729047701986148002696284788199791936812351744 False

【讨论】：

用万字符作为化身的压迫杀手？您知道，在您的个人资料页面上upload your own image 很容易。 :)
哦不，别这么说，它是自动生成的。现在我将不得不改变它！顺便说一句，你喜欢我发现的带有结尾数字的模式吗？
我知道它是自动生成的。 :( 这是一个问题，因为该算法具有全球影响力，:( 并且感谢您考虑更改它！:) 说实话我不太了解这些模式....
今天晚些时候我会上传一张图片。模式是，一旦你知道模式，你总是知道下一个结束数字是什么。只看结尾数字。就像 8 后面总是跟着 9。1 后面总是跟着 6。一旦你知道了模式，你就可以猜出下一个结束数字。 4 总是跟随 9. 等等。它没有随机性，一旦你有了模式，你实际上就知道下一个结束数字，唯一你不知道的是这些结束数字重复的频率。

【解决方案6】：

我发现以下有关此主题的有趣信息。 George Spelvin 在电子邮件线程中写道。

我注意到的一件事是 cmets 中选择质数的建议是错误地引用了 Knuth！ Knuth 说（第 3 卷第 6.4 节）该数字应该是相对与字长的素数，这对于二进制计算机来说只是意味着奇数。

https://lwn.net/Articles/687494/

【讨论】：