高效的素数生成[关闭]

Question

Complex plot of the Analytic version

在所有 Covid 停机期间，我一直在做一些数论，我认为我发现了一种非常有趣（如果不是新颖的话）的算法来检测素数。我在我的 LinkedIn 页面上发布了我的文章，您无需注册或其他任何东西。

https://www.linkedin.com/pulse/efficient-prime-number-generation-christopher-wolfe/

我只想知道这种技术是否已经为人所知，因为它非常快（恒定时间）并且尺寸非常紧凑。不久前我进行了更深入的研究，您可以在我的博客上阅读。

http://jasuto.com/ideas/primes/

很高兴获得一些反馈并验证这是新的。我还有很多东西要发布，但我想我会开始轻松:)

如果您不想阅读本文，这里是演示代码。我见过很多素数的实现，但没有 O(1) 或这么小的......

# Copyright 2021 Christopher Wolfe (chris@jasuto.com)
# Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal in the Software without restriction, including without limitation the rights to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is furnished to do so, subject to the following conditions:
# The above copyright notice and this permission notice shall be included in all copies or substantial portions of the Software.
# THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE SOFTWARE.


# constant time primality testing, along with a fairly concise prime
# number generator.  


# bignum division handles flooring
def floor(n):
    return n


def alg_prime_q(ni):
    n = ni - 1
    return floor((n*2**(n + 1) + 2)//(2*n - (-1)**n + 3)) - floor((n*2**(n + 1) - 2)//(2*n - (-1)**n + 3))


# cos(π x) + i sin(π x)
def phasor(n):
    return ((n + 1) & 1) << 1 - 1


# this will include Fermat pseudoprimes as well
def prime_q(n):
    q = n - 1
    s = q * (1 << (q + 1))
    t = (q << 1) - phasor(q) + 3
    return floor((s + 2) // t) - floor((s - 2) // t)


# returns all primes < n
def primes(n):
    return [i for i in range(3, n, 2) if prime_q(i)]

res = primes(1000)
print(res)


print('done')

Answer 1

我想我可以证明这是我在 cmets 中链接的中国假设的一个版本。

让我们在没有位移的情况下简化版本。

def alg_prime_q(ni):
    n = ni - 1
    return floor((n*2**(n + 1) + 2)//(2*n - (-1)**n + 3)) - floor((n*2**(n + 1) - 2)//(2*n - (-1)**n + 3))

我将假设 ni 是奇数，因为这大大简化了表达式，也是唯一有趣的情况（确定偶数的素数很容易）。

在这种情况下，(-1)**n = 1

floor((n*2**(n + 1) + 2)//(2*n - 1 + 3)) - floor((n*2**(n + 1) - 2)//(2*n - 1+ 3))

2 也是分子和分母中的一个因子，因此这进一步简化为：

floor((n*2**n  + 1)//(n + 1)) - floor((n*2**(n ) - 1)//(n + 1))

将 ni 替换为 n-1 ：

floor((ni-1)*2**(ni-1)  + 1)//ni - floor((ni-1)*2**(ni-1) - 1)//ni

声称如果ni 除以((ni-1)*2**(ni-1) + 1) 的次数多于ni 除以((ni-1)*2**(ni-1) - 1) 的次数，则ni 是素数。

观察到两者的差为 2，因此(ni-1)*2**(ni-1) + 1)%ni 必须为 1 或 0。

让我们分别检查这两个： 案例一，

(ni-1)*2**(ni-1) + 1 = 1 (mod ni)
ni*2**(ni-1)-*2**(ni-1) = 0 (mod ni)
2**(ni-1) = 0 (mod ni)

由于 n 是奇数，它永远不可能是 2 的幂，所以这种情况永远不会发生

案例 2。

(ni-1)*2**(ni-1) + 1 = 0 (mod ni)
ni*2**(ni-1)-2**(ni-1) + 1 = 0 (mod ni)
2**(ni-1) + 1 = 0 (mod ni)
2**ni + 2 = 0 (mod ni)

这是中国的假设。