如何让这个 Haskell 程序运行得更快

Question

所以我一直在尝试通过解决 Codeforce 上的一些问题来学习 Haskell。
即使我认为我的时间复杂度是最佳的，我也得到了很多 TLE（超出时间限制）。

我的问题是：我编写这个程序的方式是否让它变慢了？

例如，这里是problem。

基本上答案是为给定的 n 找到 a<sub>n</sub> ，其中 <b>a<sub>n</sub></b> = 2*<b>a<sub>n-1</sub></b> + <b>D(n)</b> 和 <b>D(n)</b> = n 和 n-1 之间的除数之差。

（更新：n 的上限为 10⁶）。

下面是我的程序。

import qualified Data.Map.Strict as Map

main = do t <- read <$> getLine
          putStrLn . show $ solve t

solve :: Integer -> Integer
solve 0 = 1
solve 1 = 1
solve n = (2*(solve (n-1)) + (fact n) - (fact (n-1))) `mod` 998244353
    where fact n = foldl (\s -> \t -> s*(snd t + 1)) 1 (Map.toList . factorization  $ n)
    --the number of divisors of a number

--copied from Internet,infinite prime list
primes :: [Integer]
primes = 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]
  where
    sieve (p:ps) xs = h ++ sieve ps [x | x <- t, x `rem` p /= 0]
      where (h,~(_:t)) = span (< p*p) xs

--make factorization of a number
factorization :: Integer -> Map.Map Integer Integer
factorization 1 = Map.fromList []
factorization x = Map.insertWith (+) factor 1 (factorization (x `div` factor))
    where factor = head $ filter (\s -> (x `mod` s) == 0) ls
          ls = primes

这个程序未能在时限内解决。

那么谁能指出我做错了什么以及如何解决它？
或者在时间限制内使用 Haskell 解决这个问题是不可能的？

Answer 1

您的时间复杂度并非最优的方式有很多。最明显的一个是使用试除法而不是例如筛子的质数查找器。也许这很好，因为您只计算了一次素数，但这并不能激发信心。

factorization 也至少有一个明显的问题。考虑分解一个像 78893012641 这样的数字，其素数分解为 280879^2。您将搜索最多 280879 的每个素数：昂贵，但几乎是不可避免的。但是，此时您除以 280879，然后尝试分解 280879，从 2 开始并再次扫描所有小素数，即使您刚刚发现它们都不是因式！

正如夏立耀在评论中所说，我也会怀疑在取模之前对非常大的Integers 进行乘法，而不是在每次乘法后取模。

Answer 2

您没有从“互联网”复制正确的代码。您应该为素数列表复制 primesTMWE，但更重要的是，为因式分解算法复制 primeFactors。

您基于foldl 计算一个数的因式分解的除数非常好，但也许应该使用foldl'。

请注意solve n 和solve (n-1) 都计算fact (n-1)，因此更好地预先计​​算所有它们......也许存在更好的算法来找到从1 到@987654334 的所有数字的除数@而不是分别为每个数字计算它。

我怀疑即使使用正确的算法（我在上面链接），如果您要独立分解每个数字（O(n) 个数字， O(n^1/2)) 时间来分解每个...每个素数，至少）。

也许这里要尝试的是 最小因子筛，它可以在 O(n log log n)中构建> 像往常一样使用 Eratosthenes 的筛子，一旦构建完成，它可以让您在 O(log log n) 时间内找到每个数字的因式分解（这是一个数字的average number of prime factors）。不过，它必须建立到 n （当然，您可以特殊情况下将空间需求减半；或者 6-coprimes 以节省另一个 1 /6）。可能是as an STUArray（该链接是一个示例；可以找到更好的代码here on SO）。

最小因子筛与埃拉托色尼筛一样，只是它使用最小因子而不是布尔值作为标记。

要找到一个数字的因式分解，我们只需重复删除一个数字的最小因子 n / sf(n) =: n1，重复删除 n1 / sf(n1) =: n2，然后是 n2，等等，直到我们遇到一个素数（这是任何具有 本身作为最小因素）。

由于您只使用这些因素来计算数字的除数总数，因此您可以将这两个计算融合到一个连接的循环中，以提高效率。