Python中素数查找算法的运行时间答案

【问题标题】：Running time of prime finding algorithm in PythonPython中素数查找算法的运行时间
【发布时间】：2019-03-06 07:09:53
【问题描述】：

问题：

我有以下任务：

[...] 编写一个程序，接收一个大于 1 的正整数，并验证它是素数还是合数。

解决办法：

我想出了以下内容：

n=int(input())
flag=True
for i in range(2,n//2+2):
    if n%i==0:
        print("Not prime.")
        flag=False
        break
if flag==True:
    print("Prime.")

这似乎是正确的。然后，我决定尝试一下，看看使用大整数输入会怎样，10^9+7 看起来是个不错的选择。但是，程序似乎根本没有运行完，一直运行了 30 多秒，直到我决定将其杀死。

但是，考虑到算法中的循环最多运行 ~5*10^8 次，并考虑到现代计算机在一秒钟内可以执行的大量计算，那运行时间不是不成比例地长吗？

这里发生了什么？

10^9+7 在 Python 中是否像在 C 中一样作为 int 类型计算的“上限”工作，从而以某种方式“溢出计算”？还是我的算法有问题？

提前致谢！

【问题讨论】：

顺便说一句，如果你基于（你认为的）埃拉托色尼筛子，那么你可能学会了一种通常被误认为筛子的试除法。 Eratosthenes 的实际筛子不进行可分性测试。
@user3386109 range 在 Python 3 中的行为与 Python 2 中的 xrange 类似 - 在 Python 3 中不再有 xrange。 OP没有说清楚，但是看int(input(...))和print(..)，我猜他正在使用Python 3。
@Vinicius 不需要测试最多一半的除数，您可以停在它的平方根处，对于大数来说它要小得多。
@user2357112 你说得对，这不是筛子；我最后一次真正处理它是在高中时，所以我有点误会了。
另外，很抱歉没有说清楚，@ThierryLathuille -- 我确实在使用 Python 3。我会编辑这篇文章。哇，我绝对明白为什么停在平方根上是有效的。不敢相信我没有注意到，这确实是一个很大的不同。谢谢！

标签： python algorithm runtime primes

【解决方案1】：

当然，在 Python 这样的解释型语言中，速度会慢一些——与等效的 C 实现相比，有时您可能会损失一到两个数量级的性能。但是，您的算法渐进地比必要的差得多。你的算法是O(n)，但是通过只检查可除性直到n 的平方根，你可以达到O(sqrt(n)) 时间。您还可以通过实施车轮分解来通过一些恒定因素来加快速度。轮子{2, 3} 和{2, 3, 5} 相当普遍，但是当你向轮子添加更多素数时，你会得到递减的回报。使用{2} 轮保持简单，我们可以跳过所有偶数（除了 2），因为它们都不是素数。

def is_prime(n):
    if n < 3:
        return n == 2
    if not n % 2:
        return False

    for i in range(3, int(n ** 0.5) + 2, 2):
        if not n % i:
            return False
    return True

【讨论】：