为什么这个素数分解算法即使有缺陷也能给出正确的答案？答案

【问题标题】：Why did this prime factorisation algorithm give the correct answer even though there is a flaw?为什么这个素数分解算法即使有缺陷也能给出正确的答案？
【发布时间】：2013-05-14 07:49:56
【问题描述】：

对我说的问题是这样的：

“600851475143 的最大质因数是多少？”

该程序用于查找答案正是使用 C：

#include<math.h> // for remainder because % does not work with double or floats
#include<stdio.h>  
main()
{
    double x=600851475143,y=3.0;
    while(x!=y)                         // divide until only the number can divide itself
    {
        if(remainder((x/y),1)==0.0)     // if x is divisible by y which means it is a factor then do the magic
        {
            x=x/y;                      // divide the number x by y thereby reducing one constituent factor
        }
        y=y+2;                          // add 2 simply because only odd numbers can be prime and hence only prime numbers can be prime factors
    }
    printf("%lf",y);                    // do the printing magic
}

问题正是要问你，我试图检查 x 除以所有奇数，但请注意，并非所有奇数都不是素数，算法中的这个缺陷应该会导致答案错误，因为实际上我应该检查主要因素（不是奇数因素）。

令人惊讶的是这个程序吐出的答案是正确的，我检查了答案。

我该如何解决这个问题？这没有意义。

【问题讨论】：

算法不正确并不意味着它必须总是给出错误的结果。就像程序崩溃不需要未定义的行为一样。顺便说一句，您最好避免使用浮点数来解决与整数相关的问题。使用if (x % y == 0) 检查 x 是否可以被 y 整除。 最重要的是：格式化您的代码。
没什么——只是在这种情况下，在大多数平台上使用ints 将不起作用，并且 OP 可能没有意识到这一点。
@xabhisan：做得好，但使用int64_t 比切换到浮点更合适，这会带来一系列完全不同的问题。
代码存在更多问题：(1) 2 是质数。（2）应该计算两次的因素呢（例如数字27，质数3应该计算3次）
@xabhisan 好吧，即使是坏掉的时钟也会一天两次显示正确的时间。这个算法也是。

标签： c algorithm primes prime-factoring

【解决方案1】：

请注意，该算法存在 3 个缺陷：

2 也是质数
它可能会除非素数和奇数（如 9）
它不会将质数除以一次以上（正如您所期望的那样，它会为诸如 27 之类的数字做）。

从这些我们可以得出结论，如果以下 2 个条件适用，被破坏的算法将产生正确的答案：

输入的数字是奇数（所以跳过 2 无关紧要）
让数字为n = p1*p2*...*p_k，其中p_i 都是质数。对于每个 j!=i ：p_i != p_j。在这里，这意味着实际上每个素数仅是输入数的一个因数，因此“避免”了问题 2+3。（问题 2 - 为什么它被避免是微不足道的，问题 3 被避免是因为你已经将数字与所有相关的素因子相除，所以对于每个 m=p_i1*...*p_ic，因为这个数字已经除以所有素因子 - p_i1,...p_ic - 你将无法将其与m 分开。

【讨论】：

@Thomash 我不同意。例如 27 - 它会给你答案 9，这不是一个主要因素。我同意通过解决问题（3），这将成为一个无问题。
您错误地声称该方法当且仅当 n=p₁*p₂*...*pₖ 其中pᵢ 是不同的素数时才有效。 only if 部分中的声明是错误的，因为该方法适用于某些非该形式的数字，例如 1161=27*43 得到正确的结果 43。此示例表明您的声明是错误的。

【解决方案2】：

既然其他人都在告诉你你的程序出了什么问题，我将给出一个使用试除法分解整数的正确算法：

function factors(n)
    f, fs := 2, []
    while f * f <= n
        if n % f == 0
            append f to fs
            n := n / f
        else f := f + 1
    append n to fs
    return fs

这解决了您的代码的两个问题。首先，它正确识别 2 的因子。其次，它返回所有因子及其多重性。

回答您关于除以非素数的问题：这是性能问题，而不是正确性问题。由于试验除数是按递增顺序测试的，因此在测试其组成素数时，任何复合除数都已从被分解的数字中删除。这意味着除以组合是没有用的，但不会影响结果。

当然，在处理整数时，你永远不应该使用浮点运算。在 C 语言中，一旦超出 long long 整数，您可能希望切换到 gmp 库。

有比试除法更好的算法来分解整数，也有比上面显示的更好的方法来实现试除法。但这是一个很好的起点。当你准备好更多时，我谦虚地在我的博客上推荐这篇文章Programming with Prime Numbers。

【讨论】：

【解决方案3】：

之所以有效，是因为您的号码没有重复因素。

600851475143 = 71 * 839 * 1471 * 6857

尝试使用例如1573499 (23 * 37 * 43 * 43)。

【讨论】：

我希望看到这个算法在喂食 9 时锁定。
@Vesper 完全正确！但是在 225 上会产生一个非质因子，然后停止。

【解决方案4】：

如果测试的数字是偶数，那么程序将永远运行。 x 永远是偶数，y 永远是奇数，所以 x == y 永远不会为真。

如果测试的数是奇素数或不同奇素数的乘积，则循环将找到除最后一个素数以外的所有素数并除以这些素数，直到只剩下最大的素数，循环将退出当 y 等于最大的素因子时，打印最大的素因子。

有趣的情况是当测试的数字包含奇素数的平方、立方等因素时。循环会找到奇数素因数并除以它们，但例如，如果 3^2 是一个因数，它将除以 3，留下一个因数 3。具体发生的情况取决于素因数。如果只有一个质数平方因数 p^2，程序将不会结束。如果有一个立方体或两个正方形（p^3 或 p^2 q^2），则结果将是错误的剩余因子 p^2 或 pq，除非该数字具有比这更大的素因子。

示例：3^2 x 5^2 x 13：找到因子 3、5 和 13，然后打印 15，这是错误的。示例：3^2 x 5^2 x 17：找到因子 3、5 和 15，然后打印 17，恰好是正确的。

【讨论】：