有人可以向我解释 Dixon 分解算法的这一部分吗？答案

【问题标题】：Can someone explain to me this part of Dixon's factorization algorithm?有人可以向我解释 Dixon 分解算法的这一部分吗？
【发布时间】：2023-03-25 22:09:01
【问题描述】：

我一直在尝试在python中实现Dixon的因式分解方法，我有点困惑。我知道你需要给出一些界限B 和一些数字N 并搜索sqrtN 和N 之间的数字，其平方为B-smooth，这意味着它们的所有因子都在小于或的素数集合中等于B。我的问题是，给定一定大小的N，是什么决定了B，以便算法将产生N 的非平凡因素？ Here 是一篇关于算法的维基百科文章，如果有帮助，这里是我的实现代码：

def factor(N, B):
    def isBsmooth(n, b):
        factors = []
        for i in b:
            while n % i == 0:
                n = int(n / i)
                if not i in factors:
                    factors.append(i)
        if n == 1 and factors == b:
            return True
        return False

    factor1 = 1
    while factor1 == 1 or factor1 == N:
        Bsmooth = []
        BsmoothMod = []
        for i in range(int(N ** 0.5), N):
            if len(Bsmooth) < 2 and isBsmooth(i ** 2 % N, B):
                Bsmooth.append(i)
                BsmoothMod.append(i ** 2 % N)
        gcd1 = (Bsmooth[0] * Bsmooth[1]) % N
        gcd2 = int((BsmoothMod[0] * BsmoothMod[1]) ** 0.5)
        factor1 = gcd(gcd1 - gcd2, N)
        factor2 = int(N / factor1)
    return (factor1, factor2)

也许有人也可以帮我清理一下我的代码？看起来效率很低。

【问题讨论】：

嘿朋友，很高兴今天学到了一个新东西，但我想这里没有人知道那是什么！（我是说狄克逊算法）
自从我参加了涵盖此的加密课程（然后进入各种课程）以来已经有很多个月了，这真的太早了，但只是为了检查一下：你的算法和算法@JuanRocamonde 都发布了仔细检查空间；我认为关键是从空间中随机选择数字，希望比进行详尽搜索更快地获得答案（非确定性）
平滑界的选择是一个复杂的话题，我认为密码学家最好谈论。 In this book，Steven Galbraith 概述了一种选择方法来实现次指数分解时间。我想二次筛的选择策略也适用于 Dixon 的随机正方形。 免责声明：我不是密码学家。

标签： python algorithm factorization factoring smooth-numbers

【解决方案1】：

本文讨论了 B 的最佳大小：https://web.archive.org/web/20160205002504/https://vmonaco.com/dixons-algorithm-and-the-quadratic-sieve/。简而言之，最优值被认为是 exp((logN loglogN)^(1/2))。

【讨论】：

logN loglogN，你的意思是log(N) * log(log(N))吗？
@vrume21：没错，但在实践中，边界通常被认为比这小一些（比如，小 10% 到 20%），因为它使线性代数更简单、更快。跨度>
这很有趣，你能告诉我更多关于为什么吗？或者也许指向我的来源？
我将讨论使用 NFS 分解大数，其中 big 是 512 位左右。通常的情况是您有很多小型个人计算机来进行筛选，而一台大型计算机（通常是超级计算机）来进行线性代数。您通过向后工作来确定您需要什么：找出您可以处理的最大矩阵，它给出了所需的关系数量以及因子基的大小，然后找出在分配的时间内完成任务需要多少筛子.有关更多信息，请参见 www.mersennewiki.org、mersenneforum.org 或 Crandall 和 Pomerance 的书。

【解决方案2】：

[我写这个是为了不同的目的，但你可能会觉得它很有趣。 ]

给定 x² ≡ y² (mod n) 和 x ≠ ± y，大约是 gcd(x−y, n 的一半) 是 n 的因数。 Maurice Kraitchik 在 1920 年代观察到的这种平方同余是几种因式分解方法的基础。其中一种方法（由 John Dixon 提出）在理论上很重要，因为可以证明其次指数的运行时间，尽管它太慢而无法在实践中使用。

Dixon 方法首先选择一个界限 b ≈ e^{√(log n log log n)} 并确定因子基数所有小于 b 的素数都是 n 的二次余数（它们的雅可比符号为 1）。

function factorBase(n, b)
  fb := [2]
  for p in tail(primes(b))
    if jacobi(n, p) == 1
      append p to fb
  return fb

然后在范围1上反复选择一个整数r r n，计算它的平方模n，如果正方形在因子基础上是平滑的，则将其添加到关系列表中，当关系多于因子基础中的因子时停止，并为那些失败的情况加上一小部分储备。这个想法是使用线性代数来识别一组关系，其中因子基素数组合形成一个正方形。然后取关系中所有因子基素数的乘积的平方根，取相关r的乘积，计算gcd来识别因子。

struct rel(x, ys)

function dixon(n, fb, count)
  r, rels := floor(sqrt(n)), []
  while count > 0
    fs := smooth((r * r) % n, fb)
    if fs is not null
      append rel(r, fs) to rels
      count := count - 1
    r := r + 1
  return rels

一个数n是光滑的，如果它的所有因子都在因子基中，这是由试除法确定的； smooth 函数返回一个因子列表，如果 n 没有完全覆盖因子基数，则该列表为空。

function smooth(n, fb)
  fs := []
  for f in fb
    while n % f == 0
      append f to fs
      n := n / f
    if n == 1 return fs
  return []

通过将累积关系提交给平方同余求解器的线性代数来确定一个因子。

例如，考虑 143 的因式分解。选择 r = 17，因此 r² ≡ 3 (mod 143)。然后选择 r = 19，所以 r² ≡ 75 ≡ 3 · 5²。这两个关系可以组合为 (17 · 19)² ≡ 3² · 5² ≡ 15² (mod 143)，这两个因子是 gcd(17·19 − 15, 143) = 11 和 gcd(17·19 + 15, 143) = 13。这有时会失败；例如，关系 21² ≡ 2² (mod 143) 可以与关系 19 结合，但产生的两个因素 1 和 143 是微不足道的。

【讨论】：