使用埃拉托色尼筛法生成 k 个素数

Question

浏览了一些实现，发现，想知道为什么从 k = m * m 开始迭代是安全的？谢谢。

http://www.algolist.net/Algorithms/Number_theoretic/Sieve_of_Eratosthenes

public void runEratosthenesSieve(int upperBound) {
      int upperBoundSquareRoot = (int) Math.sqrt(upperBound);
      boolean[] isComposite = new boolean[upperBound + 1];
      for (int m = 2; m <= upperBoundSquareRoot; m++) {
            if (!isComposite[m]) {
                  System.out.print(m + " ");
                  for (int k = m * m; k <= upperBound; k += m)
                        isComposite[k] = true;
            }
      }
      for (int m = upperBoundSquareRoot; m <= upperBound; m++)
            if (!isComposite[m])
                  System.out.print(m + " ");
}

Answer 1

每个小于 m*m 且 m 是因数的合数，例如。 m*n，具有比 m 小的因子，例如。 n，我们已经将其标记为复合。

这适用于素数或合数n，对于素数n，我们在m=n时的循环中设置。

对于复合 n：我们知道任何大于 1 的整数都可以表示为素数的乘积。这些质因数之一是 n 的最小质因数，我们称之为 s。由于 s 是 n 的质因数，我们可以将 n 表示为 s*r，对于一些 r。这也意味着 m*n 是 m*s*r。 s

Answer 2

让我们取一个数字并分解它：例如。 120

• 1 x 120
• 2 x 60
• 3 x 40
• 4 x 30
• 5 x 24
• 6 x 20
• 8 x 15
• 10 x 12

现在，一个观察结果：sqrt(120) = 11（发言）

现在，下一个观察，each of the above factors have one thing in common, ie. one of the factors is less than 11 and other is greater than 11。

现在让我们分解 36：

• 1 x 36
• 2 x 18
• 3 x 12
• 4 x 9
• 6 x 6

和 sqrt(36) = 6。同样我们可以做一个类似的观察，每个因子都有一个小于 6 的数字和其他更大的数字，除了 6 x 6，因为 36 是一个正方形。

所以，我们可以很容易地推断出：

对于任何数字，如果它不是质数，我们总是可以找到（至少）它的一个因子，如果我们去它的平方根。

因此，为了降低复杂性，我们需要对范围内的每个数字求平方根，因此，sqrt(upperBound) 足以用于外循环。那是因为，如果到那时任何数字都没有被标记为合数，那永远不会是因为我们已经考虑了所有可能的除数。

编辑：

另外，这种筛子的实现不是most optimized 可以的。不是在渐近复杂度方面，但你可以做一些事情来减少一些操作。我将在 C++ 中添加我的 sieve 实现，它计算所有素数直到 MAX。

#define MAX 1000000
#define I int
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
I p[MAX]={1,1,0};            //global declaration
I prime[MAX/10]={2};         //global declaration
void sieve()
{
    I i,j,k=1;
    for(i=3;i*i<=MAX;i+=2)
    {
        if(p[i])
            continue;
        for(j=i*i;j<MAX;j+=2*i)
            p[j]=1;
    }
    for(i = 3; i < MAX; i+=2)
    {
        if(!p[i])
            prime[k++]=i;
    }
    return;
}