以整数计数设置的位数

Question

我正在研究关于位计数的不同方法，或者给定整数的人口计数方法，在这段时间里，我试图弄清楚以下算法是如何工作的

pop(x)=-sum(x<<i)   where i=0:31

我认为在计算x的每个值之后，我们会得到

x+2*x+4*x+8*x+16*x+..............+2^31*x  =4294967294*x

如果我们将它乘以-1，我们得到-4294967294*x，但是它如何计算位数？请帮助我很好地理解这个方法。谢谢

Answer 1

我相信你的意思

如 Hacker's Delight 书的封面所示，其中符号表示左-旋转而不是左-移位，这将产生错误的结果和否决票。

此方法之所以有效，是因为旋转将导致 x 的所有二进制数字出现在所有术语中的每个可能的位中，并且因为 2 的补码。

举一个更简单的例子。考虑只有4个二进制数字的数字，其中数字可以表示为ABCD，那么求和意味着：

  ABCD  // x <<rot 0
+ BCDA  // x <<rot 1
+ CDAB  // x <<rot 2
+ DABC  // x <<rot 3

我们注意到每一列都有 A、B、C、D。现在，ABCD 实际上的意思是“2³ A + 2² B + 2¹ C + 2⁰ D”，所以总和就是：

  2³ A        + 2² B        + 2¹ C        + 2⁰ D
+ 2³ B        + 2² C        + 2¹ D        + 2⁰ A
+ 2³ C        + 2² D        + 2¹ A        + 2⁰ B
+ 2³ D        + 2² A        + 2¹ B        + 2⁰ C
——————————————————————————————————————————————————————
= 2³(A+B+C+D) + 2²(B+C+D+A) + 2¹(C+D+A+B) + 2⁰(D+A+B+C)
= (2³ + 2² + 2¹ + 2⁰) × (A + B + C + D)

(A + B + C + D) 是 x 的人口数， (2³ + 2² + 2¹ + 2⁰) = 0b1111 在 2 的补码中是 -1，所以总和是人口数的负数。

该参数可以很容易地扩展到 32 位数字。

Answer 2

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

unsigned int f (unsigned int a , unsigned int b);

unsigned int f (unsigned int a , unsigned int b)
{
   return a ?   f ( (a&b) << 1, a ^b) : b;
}

int bitcount(int n) {
    int tot = 0;

    int i;
    for (i = 1; i <= n; i = i<<1)
        if (n & i)
            ++tot;

    return tot;
}

int bitcount_sparse_ones(int n) {
    int tot = 0;

    while (n) {
        ++tot;
        n &= n - 1;
    }

    return tot;
}

int main()
{

int a = 12;
int b = 18;

int c = f(a,b);
printf("Sum = %d\n", c);

int  CountA = bitcount(a);
int  CountB = bitcount(b);

int CntA = bitcount_sparse_ones(a);
int CntB = bitcount_sparse_ones(b);

printf("CountA = %d and CountB = %d\n", CountA, CountB);
printf("CntA = %d and CntB = %d\n", CntA, CntB);
getch();

return 0;

}