具有分治法的数组和的复杂性答案

【问题标题】：Complexity of array sum with divide and conquer具有分治法的数组和的复杂性
【发布时间】：2018-07-11 22:41:42
【问题描述】：

设以下算法为：

sum(v, i, j) {
    if i == j
        return v[i]
    else {
        k = (i + j) / 2
        return sum(v, i, k) + sum(v, k+1, j)
    }
}

这个算法的时间复杂度是O(n)，但是我如何（用自然语言）证明它的复杂度呢？问题总是被分成两个新问题，那就是O(log n)，但其余的复杂性从何而来？

应用主定理产生预期结果，O(n)。

谢谢。

【问题讨论】：

The problem always gets divided in two new problems so that would be O(log n) -没有。每次划分时，您都不会丢弃任何一半。如果你像二分搜索一样丢弃任何一半，那么它是 O(logn) 否则你将计算递归树的所有叶子，它的顺序是 O(n)。

标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

从高级的角度来看，您的算法就像在遍历平衡二叉树一样，其中每个节点都覆盖一个特定的区间[i, j]。他们的孩子将区间分成 2 个大致相等的部分，即[i, (i+j)/2] 和[(i+j)/2 + 1, j]。

假设它们在这种情况下是相等的。（也就是说，为了证明，数组n的长度是2的幂）

请按以下方式考虑。您的算法正在遍历这个平衡二叉树的 n 叶子。每个都从长度为 1 的间隔负责。树的 n/2 节点是这 n 个叶子的父节点。那些n/2 节点有n/4 父母。这一直持续到您到达树的根节点，它覆盖了整个区间。

想想这棵树中有多少个节点。 n + (n/2) + (n/4) + (n/8) + ... + 2 + 1。由于我们最初假设n = 2^k，因此我们可以将此和表示为指数之和，其求和公式为well known。事实证明，该树中有2^(k+1) - 1 = 2 * (2^k) - 1 = 2n - 1 节点。因此，显然遍历该树的所有节点将花费 O(n) 时间。

【讨论】：

【解决方案2】：

将问题分成两部分并不一定意味着复杂度为 log(n)。

我猜你指的是二分搜索算法，但因为我们知道搜索键将在除法的另一侧，所以每个除法的每一半都被跳过。

只需查看 sudo 代码，就会对每个分区进行递归调用，并且不会跳过任何内容。为什么会是 log(n)？

O(n) 是正确的复杂度。

【讨论】：